（毕节专版）2019年中考数学复习 第4章 图形的性质 第18课时 菱形、矩形、正方形（精讲）试题

1第18课时菱形、矩形、正方形毕节中考考情及预测近五年中考考情2019年中考预测年份考查点题型题号分值菱形、矩形、正方形在近几年中考都有考查，为重点内容，预计2019年将会继续考查，且在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.2018矩形的性质选择题93矩形的性质选择题143菱形的判定解答题24（2）62017正方形的性质选择题1432016菱形的判定、矩形的性质选择题113正方形的性质选择题153正方形的性质填空题205菱形的性质解答题25（2）62015正方形的性质选择题6,3正方形的性质与判定解答题27（3）62014菱形的性质选择题83矩形的性质填空题195毕节中考真题试做菱形的性质与判定1.（2014·毕节中考）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（A）A.3.5B.4C.7D.142.（2016·毕节中考）下列语句正确的是（C）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等C.矩形的对角线相等D.平行四边形是轴对称图形矩形的性质与判定3.（2014·毕节中考）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的一个最小内角为30度.正方形的性质与判定4.（2017·毕节中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列判断不正确．．．的是（D）A.△AEE′是等腰直角三角形B.AF垂直平分EE′C.△E′EC∽△AFDD.△AE′F是等腰三角形毕节中考考点梳理菱形的性质与判定1.菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，如图①所示菱形ABCD.图①2.菱形的性质文字描述字母表示（参考图①）（1）四条边都相等.AB＝BC＝CD＝DA（2）对角相等.∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC（3）两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.AC⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC，OA＝OC，OB＝OD（4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形.3.菱形的判定文字描述字母表示（参考图①）（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形.若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，则四边形ABCD是菱形.（2）四条边相等的四边形是菱形.若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形.（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形.矩形的性质与判定4.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，如图②所示矩形ABCD.5.矩形的性质文字描述字母表示（参考图②）（1）对边平行且相等.ADBCABCD（2）四个内角都是直角.∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°（3）两条对角线相等且互相平分.AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.6.矩形的判定文字描述字母表示（参考图②）（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形.（2）有三个角是直角的四边形是矩形.若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形.若AC＝BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是矩形.正方形的性质与判定7.正方形的定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，如图③所示正方形ABCD.8.正方形的性质文字描述字母表示（参考图③）（1）四条边都相等.AB＝BC＝CD＝DA（2）四个角都是90°.∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°（3）对角线互相垂直平分且相等.AC⊥BD，AO＝OC＝OD＝OB（4）对角线平分一组对角.∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.9.正方形的判定文字描述字母表示（参考图③）（1）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形.（2）对角线相等（或有一角是直角）的菱形是正方形.若AC＝BD（或∠ABC＝90°）且四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD是正方形.（3）对角线垂直（或有一组邻边相等）的矩形是正方形.若AC⊥BD（或AB＝BC），且四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD是正方形.（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.若四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC（即OA＝OC，OB＝OD），AC＝BD，则四边形ABCD是正方形.1.（2018·滨州中考）下列命题，其中是真命题的为（D）A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形2.（2018·遵义中考）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为（C）A.10B.12C.16D.183.（2018·无锡中考）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G，H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（A）,（第3题图）A.等于37B.等于73C.等于34D.随点E位置的变化而变化4.（2018·龙东中考）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB＝BC或AC⊥BD使平行四边形ABCD是菱形.,（第4题图）5.（2018·沈阳中考改编）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求菱形ABCD的面积.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形.又∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是矩形，则OD＝CE＝1，OC＝DE＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为12AC·BD＝12×4×2＝4.6.如图，在▱ABCD中，已知E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DG，∠BFE＝∠DHG.求证：（1）△BEF≌△DGH；（2）四边形EFGH为平行四边形.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.在△BEF和△DGH中，∠BFE＝∠DHG，∠B＝∠D，BE＝DG，∴△BEF≌△DGH（AAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠C.由（1）知△BEF≌△DGH，∴BF＝DH，EF＝GH.又∵BE＝DG，∴AH＝CF，AE＝CG.在△AEH和△CGF中，AE＝CG，∠A＝∠C，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF.又∵EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形.中考典题精讲精练菱形的性质与判定例1（2018·北部湾中考）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积.【解析】（1）先利用ASA判定△AEB≌△AFD，可得AB＝AD，从而证明结论；（2）根据菱形的对角线互相垂直且互相平分和勾股定理可得AO，BO的长，故可求S▱ABCD.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD.∴AB＝AD.∴▱ABCD是菱形；（2）解：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝12×6＝3.∵AB＝5，OA＝3，∴OB＝AB2－OA2＝52－32＝4.∴BD＝2OB＝8.∴S▱ABCD＝12×AC×BD＝24.矩形的性质与判定例2（2018·玉林中考）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长.【解析】（1）要证明四边形EFNM是矩形，有ME⊥CD，FN⊥CD条件，还缺ME＝FN.过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别是G，H.利用角平分线的性质定理可得结论；（2）利用平行四边形的性质和角平分线的定义推出△DEA是直角三角形，并利用勾股定理求出AD的长.利用三角形全等的条件证明△GEA≌△NFC，△DME≌△DGE，从而得到DM＝DG，AG＝CN，再利用线段的和差关系EF＝MN＝CD－DM－CN，即可得出结果.【答案】（1）证明：过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别是G，H.∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，∴EG＝EM，EG＝EM′.∴EG＝EM＝EM′＝12MM′.同理可得：FH＝FN＝FN′＝12NN′.∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′＝NN′.∴ME＝NF＝EG＝FH.又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，∴四边形EFNM是矩形；（2）解：∵DC∥AB，∴∠CDA＋∠DAB＝180°.∵∠3＝12∠CDA，∠2＝12∠DAB，∴∠3＋∠2＝90°.在Rt△DEA中，AE＝4，DE＝3，∴AD＝32＋42＝5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠2＝12∠DAB，∠5＝12∠DCB，∴∠2＝∠5.又∵EG＝FN，∴△AGE≌△CNF.∴AG＝CN.在Rt△DME和Rt△DGE中，DE＝DE，EM＝EG，∴△DME≌△DGE（HL）.∴DG＝DM.∴DM＋CN＝DG＋AG＝AD＝5，∴MN＝CD－（DM＋CN）＝9－5＝4.∵四边形EFNM是矩形，∴EF＝MN＝4.,1.（2018·哈尔滨中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝34，则线段AB的长为（C）A.7B.27C.5D.102.（2018·遂宁中考）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形.∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.3.（2018·上海中考）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（B）A.∠A＝∠BB.∠A＝∠CC.AC＝BDD.AB⊥BC4.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.由折叠的性质，可知AB＝AE，∠B＝∠E，∴AE＝CD，∠D＝∠E.又∵∠AOE＝∠COD，∴△AOE≌△COD（AAS）；（2）解：∵△AOE≌△COD，∴AO＝CO.∵∠OCD＝30°，CD＝AB＝3，∴CO＝CDcos30°＝332＝2.∴△AOC的面积为12AO·CD＝12×2×3＝3.正方形的性质与判定例3（2018·白银中考）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点.（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设