（2019高考题 2019模拟题）2020高考数学 基础巩固练（四）文（含解析）

1基础巩固练(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·南昌市摸底)已知集合A＝{x|x1}，B＝{x|x2＋3x＋2≤0}，则A∩B＝()A．∅B．{x|x1}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|x－2或－1x1}答案C解析∵集合A＝{x|x1}，B＝{x|x2＋3x＋2≤0}＝{x|－2≤x≤－1}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．故选C.2．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i答案D解析由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝－＋－＝－2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.3．(2019·衡阳八中模拟)某地某高中2019年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2019年高考情况，得到如下饼状图：2019年的数据信息与2015年的相比，下列结论正确的是()A．一本达线人数减少B．二本达线人数增加了0.5倍C．艺体达线人数相同D．不达线的人数有所增加答案D解析不妨设2015年的高考考生人数为100，则2019年的高考考生人数为150.20152年一本达线人数为28,2019年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故A错误；2015年二本达线人数为32,2019年二本达线人数为60，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故B错误；艺体达线比例没变，但是高考考生人数是不相同的，故C错误；2015年不达线人数为32,2019年不达线人数为42，不达线人数有所增加，故D正确．4．(2019·长葛市一模)下列各点中，可以作为函数y＝sinx－3cosx＋1图象的对称中心的是()A.π3，0B.π6，0C.2π3，0D.5π6，0答案A解析∵y＝sinx－3cosx＋1＝2sinx－π3＋1，∴函数的对称中心横坐标x满足x－π3＝kπ，k∈Z，即x＝kπ＋π3，k∈Z.可知该函数图象的对称中心为kπ＋π3，0，当k＝0时，π3，0为该函数的一个对称中心，故选A.5．(2019·昆明一中二模)已知函数f(x)＝－2ax，x≤1，logax＋13，x1，当x1≠x2时，fx1－fx2x1－x20，则a的取值范围是()A.0，13B.13，12C.0，12D.14，13答案A解析∵当x1≠x2时，fx1－fx2x1－x20，∴f(x)是R上的单调递减函数，∵f(x)＝－2ax，x≤1，logax＋13，x1，∴01－2a1，0a1，1－2a≥13，∴0a≤13.故选A.6．(2019·漯河市三模)已知点F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，点A(2，y1)，B12，y2分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|＝10，则|y1－y2|＝()A．4B．8C．12D．163答案C解析∵|AF|＝2＋p2＝10，∴p＝16，则抛物线的方程为y2＝32x，把x＝12代入抛物线方程，得y＝－4(y＝4舍去)，即B12，－4，把x＝2代入抛物线方程，得y＝8(y＝－8舍去)，即A(2,8)，则|y1－y2|＝|8－(－4)|＝12，故选C.7．(2019·潍坊市一模)执行如图所示的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x的值为()A．0B．eC．0或eD．0或1答案C解析程序对应的函数为y＝ex，x≤0，2－lnx，x0，若x≤0，由y＝1，得ex＝1，即x＝0，满足条件．若x＞0，由y＝2－lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上，x＝0或x＝e，故选C.8．(2019·长春一模)正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若AF→·AE→＝5，则|AF→|＝()A．3B．5C.32D.52答案D解析∵正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，∴AE＝5，∵AF→·AE→＝5＝|AE→|2，∴|AF→||AE→|cos∠EAF＝|AE→|2，∴|AF→|cos∠EAF＝|AE→|，由数量积的几何意义可知EF⊥AE，由E是BC中点，可得EC4＝1，EF＝1＋CF2，AF＝4＋－CF2，∵AE2＋EF2＝AF2，即5＋1＋CF2＝4＋(2－CF)2，∴CF＝12，∴|AF→|＝AF＝52.故选D.9．(2019·河南濮阳二模)记[m]表示不超过m的最大整数．若在x∈18，12上随机取1个实数，则使得[log2x]为偶数的概率为()A.23B.12C.13D.14答案A解析若x∈18，12，则log2x∈(－3，－1)，要使得[log2x]为偶数，则log2x∈[－2，－1)．所以x∈14，12，故所求概率P＝12－1412－18＝23.故选A.10．(2019·福州一模)已知函数f(x)＝xsinx，f′(x)为f(x)的导函数，则函数f′(x)的部分图象大致为()答案A解析函数f(x)的导函数f′(x)＝sinx＋xcosx为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2cosx－xsinx，g′(0)＝2＞0，排除B，故选A.11．(2019·长沙一中三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB＋bcosA＝4sinC，则△ABC的外接圆面积为()A．16πB．8πC．4πD．2π答案C解析设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB＋bcosA＝4sinC，∴由余弦定理可得a·a2＋c2－b22ac＋b·b2＋c2－a22bc＝2c22c＝c＝4sinC，∴2R＝csinC＝4，解得R＝2，∴△ABC的外5接圆面积为S＝πR2＝4π，故选C.12．(2019·青岛一模)已知函数f(x)＝2x－xlnx，x0，－x2－32x，x≤0，若方程f(x)＝a(a为常数)有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.916，eC．(－∞，0]∪916，eD．(－∞，0)∪916，e答案D解析当x＞0时，函数f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx，由f′(x)＞0，得1－lnx＞0，得lnx＜1，得0＜x＜e，由f′(x)＜0，得1－lnx＜0，得lnx＞1，得x＞e，当x的值趋向于正无穷大时，y的值趋向于负无穷大，即当x＝e时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(e)＝2e－elne＝2e－e＝e；当x≤0时，f(x)＝－x2－32x＝－x＋342＋916是二次函数，在对称轴x＝－34处取得最大值916.在同一坐标系内作出函数f(x)和y＝a的图象如图所示，要使方程f(x)＝a(a为常数)有两个不相等的实根，则a＜0或916＜a＜e，即实数a的取值范围是(－∞，0)∪916，e，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·天津高考)曲线y＝cosx－x2在点(0,1)处的切线方程为________．答案y＝－12x＋16解析y′＝－sinx－12，将x＝0代入，可得切线斜率为－12.所以切线方程为y－1＝－12x，即y＝－12x＋1.14．(2019·河北衡水中学一模)已知实数x，y满足约束条件y－x≤0，x＋y－1≤0，y＋1≥0，则z＝3x＋y的最大值为________．答案5解析画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x＋z，可知z要取得最大值，即直线经过点C.解方程组x＋y－1＝0，y＋1＝0，得C(2，－1)，所以zmax＝3×2＋(－1)＝5.15．(2019·四川绵阳二诊)已知点P是椭圆C：x29＋y2＝1上的一个动点，点Q是圆E：x2＋(y－4)2＝3上的一个动点，则|PQ|的最大值为________．答案43解析由题知，圆E的圆心坐标为E(0,4)，半径R＝3，设P(m，n)是椭圆上的任意一点，则m29＋n2＝1，则|EP|2＝m2＋(n－4)2＝9－9n2＋(n－4)2＝－8n2－8n＋25，当n＝－12时，|EP|2有最大值27，所以|PQ|的最大值为33＋R＝43.16．(2019·青岛二模)在四棱锥中P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为________．7答案(14－65)π解析在这个四棱锥内有一个球，则此球有最大表面积时，对应的球是内切球，此时球的半径最大，设内切球的球心为O、半径为R，连接OP，OA，OB，OC，OD，构成五个小棱锥，则五个小棱锥的体积之和即为大棱锥的体积，即13×S四边形ABCD×PD＝13×SP－ABCD×R，根据AB⊥AD，PD⊥AB，可得AB⊥平面PDA，故得AB⊥PA，PA＝5＝PC，同理得BC⊥PC，四棱锥P－ABCD的表面积为SP－ABCD＝12×2×5×2＋12×1×2×2＋2×2＝6＋25，13×(6＋25)×R＝13×4×1，得R＝3－52，此时球的表面积为4π3－522＝(14－65)π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·成都二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，且a2＋1为a1，a3的等差中项，S3＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)∵a2＋1是a1，a3的等差中项，∴2(a2＋1)＝a1＋a3，∴a1(q2＋1)＝2a1q＋2，又a1(1＋q＋q2)＝14，以上两式消去a1得2q2－5q＋2＝0，∵q＞1，∴解得q＝2，∴a1＝2.∴an＝2n.(2)bn＝an·log2an＝n·2n.∴数列{bn}的前n项和Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.2Tn＝2×2＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝22n－12－1－n·2n＋1.∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.18．(本小题满分12分)(2019·合肥二模)如图，三棱台ABC－EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF.8(1)求证：AB⊥CG；(2)若△ABC和梯形BCGF的面积都等于3，求三棱锥G－ABE的体积．解(1)证明：取BC的中点为D，连接DF.由ABC－EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，∴BC∥FG.∵CB＝2GF，∴CD綊GF，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF.∵BF＝CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC.∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB.(2)∵三棱台ABC－EFG的底面是正三角形，且CB＝2GF，∴AC＝2EG，∴S△ACG＝2S△AEG，∴VG－ABE＝VB－AEG＝12VB－ACG＝12VG－ABC.由(1)知，CG⊥平面ABC.∵正△ABC的面积等于3，∴BC＝2，GF＝1.∵直角梯形BCGF的面积等于3，即＋CG2＝3，∴CG＝233，∴VG－ABE＝12VG－ABC＝12·13·S△ABC·CG＝13.19．(本小题满分12分)(2019·临沂二模)按国家规定，某型号运营汽车的使用年限为8年．某二手汽车交易市场对2018年成交的该