（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（一） 三角函数、解三角形

1课时达标训练(一)三角函数、解三角形A组——抓牢中档小题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________．解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.答案：122．(2019·苏锡常镇四市一模)设定义在区间0，π2上的函数y＝33sinx的图象与y＝3cos2x＋2的图象交于点P，则点P到x轴的距离为________．解析：法一：根据题意得，33sinx＝3cos2x＋2，33sinx＝3(1－2sin2x)＋2，6sin2x＋33sinx－5＝0，(23sinx＋5)·(3sinx－1)＝0，所以sinx＝13，此时yP＝33×13＝3，所以点P到x轴的距离为3.法二：设点P的坐标为(xP，yP)，因为x∈0，π2，所以yP＝33sinxP＞0，sinxP＝yP33，又yP＝3cos2xP＋2，所以yP＝3(1－2sin2xP)＋2，yP＝31－2y2P27＋2，所以2y2P＋9yP－45＝0，(2yP＋15)(yP－3)＝0，因为yP＞0，所以yP＝3，故点P到x轴的距离为3.答案：33．(2019·常州期末)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)是偶函数，点(1，0)是函数f(x)图象的对称中心，则ω的最小值为________．解析：由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)是偶函数，知函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，又点(1，0)是函数f(x)图象的对称中心，所以函数f(x)的最小正周期T的最大值为4，所以ω的最小值为2π4＝π2.答案：π24．(2019·扬州期末)设a，b是非零实数，且满足asinπ7＋bcosπ7acosπ7－bsinπ7＝tan10π21，则ba＝________．2解析：因为asinπ7＋bcosπ7acosπ7－bsinπ7＝tan10π21，所以asinπ7＋bcosπ7acosπ7－bsinπ7＝sin10π21cos10π21，所以acos10π21sinπ7＋bcos10π21cosπ7＝asin10π21cosπ7－bsin10π21sinπ7，所以asin10π21cosπ7－cos10π21sinπ7＝bcos10π21cosπ7＋sin10π21sinπ7，即asin10π21－π7＝bcos10π21－π7，asinπ3＝bcosπ3，所以ba＝tanπ3＝3.答案：35．(2019·无锡期末)已知θ是第四象限角，cosθ＝45，那么sinθ＋π4cos（2θ－6π）的值为________．解析：依题意，得sinθ＝－35，sinθ＋π4cos（2θ－6π）＝sinθcosπ4＋cosθsinπ4cos2θ＝－35×22＋45×222×452－1＝5214.答案：52146．(2019·南通等七市二模)在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为23，则AB的长为________．解析：设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，则由sinB＝2sinA和正弦定理得b＝2a，由△ABC的面积S＝12absinC＝34ab＝23，得ab＝8，所以a＝2，b＝4，由余弦定理可得AB2＝4＋16－2×2×4×－12＝28，得AB＝27.答案：2737．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sinB＝45，cosB＝9ac，则b的值为________．解析：∵sinB＝45，cosB＝9ac，sin2B＋cos2B＝1，∴ac＝15，又∵2b＝a＋c，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－18＝(a＋c)2－48＝4b2－48，解得b＝4.答案：48．(2019·南京三模)函数f(x)＝2sinωx＋π6，其中ω＞0.若x1，x2是方程f(x)＝2的两个不同的实数根，且|x1－x2|的最小值为π.则当x∈0，π2时，f(x)的最小值为________．解析：根据已知可得2πω＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin2x＋π6.因为x∈0，π2，所以2x＋π6∈π6，7π6，数形结合易知，当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值，为－1.答案：－19．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则cos(α－β)＝________．解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－1－2×132＝－79.答案：－7910．(2019·石庄中学模拟)将函数f(x)＝cos(2x＋θ)|θ|＜π2的图象向右平移π3个单位后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x＝π4对称，则θ＝________．解析：依题意，g(x)＝cos2x－π3＋θ＝cos2x－2π3＋θ，令2x－2π3＋θ＝kπ(k∈Z)，即函数g(x)图象的对称轴为x＝π3－θ2＋kπ2(k∈Z)，又|θ|＜π2，当k＝0时，有π3－θ2＝π4，解得θ＝π6.答案：π611．(2019·徐州中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A4＋3cosA＝1，b＝5，△ABC的面积S＝53，则△ABC的周长为________．解析：由cos2A＋3cosA＝1得2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝－2(舍去)或cosA＝12，则sinA＝32，由S＝12bcsinA＝12×5×32c＝53，得c＝4.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－2×5×4×12＝21，得a＝21.所以△ABC的周长为5＋4＋21＝9＋21.答案：9＋2112．已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝________．解析：由tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2α0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinα（sinα＋cosα）22（sinα＋cosα）＝22sinα＝－255.答案：－25513．(2019·盐城三模)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2＋ab，则a2－b2c2的取值范围是________．解析：因为c2＝a2＋b2＋ab，所以由余弦定理得cosC＝－12，所以C＝2π3，由正弦定理得a2－b2c2＝sin2A－sin2Bsin2C＝43sin2A－sin2π3－A＝233sin2A－π3.因为0＜A＜π3，所以－π3＜2A－π3＜π3，所以a2－b2c2∈(－1，1)．答案：(－1，1)14．(2018·苏锡常镇一模)已知sinα＝3sinα＋π6，则tanα＋π12＝________．解析：∵sinα＝3sinα＋π6＝3sinαcosπ6＋3cosα·sinπ6＝332sinα＋32cosα，∴tanα＝32－33.5又tanπ12＝tanπ3－π4＝tanπ3－tanπ41＋tanπ3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tanα＋π12＝tanα＋tanπ121－tanαtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B组——力争难度小题1.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝3sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图象可得AT4，3，B3T4，－3，则OA―→·OB―→＝3T216－3＝0，解得T＝4.答案：42．(2019·平潮中学模拟)在△ABC中，若1tanB＋1tanC＝1tanA，则cosA的取值范围为________．解析：由1tanB＋1tanC＝1tanA，得cosBsinB＋cosCsinC＝cosAsinA，即cosBsinC＋cosCsinBsinBsinC＝cosAsinA，即sin（B＋C）sinBsinC＝cosAsinA，即sinAsinBsinC＝cosAsinA，由正弦定理，得bccosA＝a2，由余弦定理，得bccosA＝b2＋c2－2bccosA，即cosA＝b2＋c23bc≥2bc3bc＝23(当且仅当b＝c时取等号)，又易知cosA＜1，所以23≤cosA＜1.6答案：23，13．已知α为锐角，cosα＋π4＝55，则sin2α＋π3的值为________．解析：因为α∈0，π2，所以α＋π4∈π4，3π4，所以sinα＋π4＝1－cos2α＋π4＝255，因为sin2α＋π2＝sin2α＋π4＝2sinα＋π4·cosα＋π4＝45，cos2α＋π2＝cos2α＋π4＝2cos2α＋π4－1＝－35，所以sin2α＋π3＝sin2α＋π2－π6＝sin2α＋π2cosπ6－cos2α＋π2sinπ6＝43＋310.答案：43＋3104.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．解析：由图象可得A＝1，T2＝2π2ω＝π3－－π6，解得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将点π3，0代入函数f(x)可得0＝sin2π3＋φ，所以2π3＋φ＝kπ，所以φ＝kπ－2π3(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.因为－π6，0，π3，0的中点坐标为π12，0，又x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝π12×2＝π6，所以f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.答案：325．在△ABC中，B＝π3，AC＝3，D为BC中点，E为AB中点，则AE＋BD的取值范围为________．解析：在△ABC中，设C＝θ，则A＝2π3－θ，且θ∈0，2π3.由正弦定理BCsinA＝ACsinB＝ABsinC，得AB＝ACsinCsinB＝3sinθsinπ3＝2sinθ，BC＝ACsinAsinB＝3sin2π3－θsinπ3＝2sin2π3－θ，所以AE＋BD＝12AB＋12BC＝sinθ＋sin2π3－θ＝sinθ＋32cosθ＋127sinθ＝32sinθ＋32cosθ＝3sinθ＋π6.又θ∈0，2π3，则θ＋π6∈π6，5π6，所以sinθ＋π6∈12，1，所以3sinθ＋π6∈32，3，即AE＋BD的取值范围是32，3.答案：32，36.(2018·南通基地卷)将函数y＝3sinπ4x的图象向左平移3个单位长度，得到函