（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（十二） “解析几何”专题提能课

1课时达标训练(十二)“解析几何”专题提能课A组——易错清零练1．过点P(2，－1)且倾斜角的正弦值为513的直线方程为________________________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sinα＝513，因为0≤απ，所以cosα＝±1－sin2α＝±1213，所以tanα＝sinαcosα＝±512，则所求直线方程为y＋1＝±512(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝02．(2019·南京四校联考)已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的一个焦点在直线l：3x＋y－4＝0上，且双曲线的一条渐近线与直线l垂直，则该双曲线的方程为________．解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，因为直线l与y轴的交点坐标为(0，4)，所以双曲线的焦点坐标为(0，±4)，即c＝a2＋b2＝4.又直线l的斜率为－3，直线l与双曲线的一条渐近线垂直，所以ab＝33，所以可得a2＝4，b2＝12，故该双曲线的方程为y24－x212＝1.答案：y24－x212＝13．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线x24－y2b2＝1(b0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.因为AF＝5，所以点A到抛物线的准线的距离也为5，所以A(4，4)或A(4，－4)，又点A在双曲线上，所以164－16b2＝1，得b＝433，所以双曲线的渐近线方程为y＝±233x.答案：y＝±233x4．若关于x的方程1－x2＝a(x－1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．解析：作出函数y＝1－x2的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a(x－1)＋1，它是过点A(1，1)的直线，由图象可知，实数a2的取值范围是0，12.答案：0，125．(2019·姜堰中学模拟)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0，a1)的离心率e＝63，右顶点到直线ax＋by＝1的距离为1，过点P(0，2)的直线l交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设M为AB的中点，连接OM并延长交椭圆C于点N，若OM―→＝12ON―→，求直线AB的方程；(3)若直线OB交椭圆C于另一点Q，求△ABQ面积的最大值．解：(1)∵离心率e＝63，∴ca＝23，a2－b2a2＝23，得b2a2＝13.设椭圆C的右顶点(a，0)到直线ax＋by＝1的距离为d，则d＝|a2－1|a2＋b2＝1，将a2＝3b2代入上式得，d＝|3b2－1|2b＝1，得b＝1，a＝3或b＝13，a＝33.∵a1，∴a＝3，b＝1.故椭圆C的标准方程为x23＋y2＝1.(2)显然过点P的直线l的斜率存在且不为0，不妨设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)．由x23＋y2＝1，y＝kx＋2，消去y并整理得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，由Δ＝144k2－36(1＋3k2)＝36(k2－1)0，得k21.设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x3，y3)，则x1，2＝－6k±3k2－11＋3k2.3∴x0＝x1＋x22＝－6k1＋3k2，y0＝kx0＋2＝k·－6k1＋3k2＋2＝21＋3k2.∵OM―→＝12ON―→，∴x0＝12x3，y0＝12y3，即x3＝2x0，y3＝2y0.∵点N(x3，y3)在椭圆上，∴x233＋y23＝1，即4x20＋12y20＝3，即4－6k1＋3k22＋1221＋3k22＝3，整理得3k4－14k2－5＝0，解得k＝±5.故直线AB的方程为y＝±5x＋2.(3)连接AO，由椭圆的对称性可知，BO＝OQ，则S△ABQ＝2S△AOB.设点O到直线AB的距离为h，由(2)得AB＝k2＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝6k2＋1k2－11＋3k2，h＝2k2＋1，∴S△AOB＝12AB×h＝12×6k2＋1×k2－11＋3k2×21＋k2＝6k2－11＋3k2，∴S△ABQ＝2S△AOB＝12k2－11＋3k2.令t＝k2－1，则t0，k2＝t2＋1，S△ABQ＝12t1＋3（t2＋1）＝12t3t2＋4＝123t＋4t≤1223t·4t＝3，当且仅当t＝233，k2＝73，即k＝±213时等号成立，∴(S△ABO)max＝3.B组——方法技巧练1．已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．解析：由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.4由|AB|＝23得3m－3m2＋12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|AB|cosπ6＝23×23＝4.答案：42.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝1－b2，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得AF1―→＝3F1B―→，故－2c＝3x0＋3c，－b2＝3y0，即x0＝－53c，y0＝－13b2，代入椭圆方程可得25（1－b2）9＋19b2＝1，解得b2＝23，故椭圆方程为x2＋3y22＝1.答案：x2＋32y2＝13．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±bax，右焦点F(c，0)，根据对称性，不妨设平行线方程为y＝ba(x－c)，易知它与另一条渐近线y＝－bax交于点Pc2，－bc2a.所以线段PF的中点坐5标为3c4，－bc4a，代入双曲线的方程得9c216a2－b2c216a2b2＝1，即c2＝2a2，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.答案：24．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2a2c－x，x＝2a2c－ae＋2，有－a≤2a2c－ae＋2≤a，不等式各边同除以a，得－1≤2ac－1e＋2≤1，则2e－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0e1，所以17－32≤e1，所以椭圆离心率的最小值为17－32.答案：17－325．(2019·苏锡常镇一模)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1)求椭圆E的标准方程；(2)如图，已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：PA·PBPC·PD为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，ca＝32，a2c－c＝33，c2＝a2－b2，解得a＝2，b＝1，c＝3，∴椭圆E的标准方程是x24＋y2＝1.(2)证明：由题意，得直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简得，6(1＋4k21)x2－8k21tx＋4k21t2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，2＝4k21t±24k21－k21t2＋11＋4k21.x1＋x2＝8k21t1＋4k21，x1x2＝4k21t2－41＋4k21.因为PA＝1＋k21|x1－t|，PB＝1＋k21|x2－t|，所以PA·PB＝(1＋k21)|x1－t||x2－t|＝(1＋k21)|t2－(x1＋x2)t＋x1x2|＝(1＋k21)t2－8k21t21＋4k21＋4k21t2－41＋4k21＝（1＋k21）|t2－4|1＋4k21，同理，PC·PD＝（1＋k22）|t2－4|1＋4k22.因为k1，k2为定值，所以PA·PBPC·PD＝（1＋k21）（1＋4k22）（1＋k22）（1＋4k21）为定值．C组——创新应用练1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析：易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：52．已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．解析：如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得|MF||OE|＝|AF||AO|，则|MF|＝m（a－c）a.①7又由OE∥MF，得12|OE||MF|＝|BO||BF|，则|MF|＝m（a＋c）2a.②由①②得a－c＝12(a＋c)，即a＝3c，∴e＝ca＝13.答案：133．设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析：依题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过O作OA⊥MN，垂足为A，在Rt△OMA中，因为∠OMA＝45°，故|OA|＝|OM|sin45°＝22|OM|≤1，所以|OM|≤2，则x20＋1≤2，解得－1≤x1≤1.答案：[－1，1]4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得sin∠MF1F2a＝sin∠MF2F1c，则该椭圆离心率的取值范围为________．解析：在△MF1F2中，|MF2|sin∠MF1F2＝|MF1|sin∠MF2F1，而sin∠MF1F2a＝sin∠MF2F1c，∴|MF2||MF1|＝sin∠MF1F2sin∠MF2F1＝ac.①又M是椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②由①②得，|MF1|＝2aca＋c，|MF2|＝2a2a＋c.显然|MF2||MF1|，∴a－c|MF2|a＋c，即a－c2a2a＋ca＋c，整理得c2＋2ac－a20，∴e2＋2e－10，又0e1，∴2－1e1.答案：(2－1，1)85．(2019·盐城三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点P()2，1，且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－12.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上存在两点Q，R，使得△PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O，试求直线QR的方程．解：(1)由题意，得2a2＋1b2＝1，1－02－a×1－02＋a＝－12，得a2＝4，b2＝2，所以椭