（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（九） 解析几何中的基本问题

1课时达标训练(九)解析几何中的基本问题A组——抓牢中档小题1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________．解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.答案：12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为____________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝22＋（5）2＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝93．(2019·无锡期末)以双曲线x25－y24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．解析：由题可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，双曲线中，c＝5＋4＝3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以p2＝3，p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝12x.答案：y2＝12x4．已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为S△ABC＝12CA·CB·sin∠ACB＝1，所以12×2×2×sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以|－k＋2|k2＋1＝1，解得k＝34，所以直线方程为3x－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.答案：3x－4y＋5＝0或x＝15．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．2解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，|MA|＝|MB|sin∠BAM＝2sin30°＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1，5]．答案：[1，5]6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－43.答案：－437．(2019·南京四校联考)已知圆O：x2＋y2＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m＜n)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为________．解析：设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.连接MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB.因为∠APB＝60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以M为圆心，2为半径的圆上，连接OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）2≤3，得2a2－8a＋15≥0，2a2－8a＋7≤0，解得2－22≤a≤2＋22.所以n≥2＋22，m≤2－22，所以n－m≥2.答案：28．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．解析：设点P(x0，y0)，则直线PA的方程为y＝y0x0＋1(x＋1),在y轴上的截距为y0x0＋1，同理可得直线PB在y轴上的截距为－5y0x0－5，由直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，得－5y0x0－5×y0x0＋1＝5，化简，得(x0－2)2＋y20＝9(y0≠0)，所以点P的轨迹是以C(2，0)为圆心，3为半径的圆(点A(－1，0)，B(5，0)除外)，由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点，3若A，B均不在圆M上，因此圆心距等于半径之和或差，则22＋m2＝5，解得m＝±21；或22＋m2＝1，无解．若A或B在圆M上，易得m＝±3，经检验成立．所以m的值为±21或±3.答案：±21或±39．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，所以圆心C(0，3)，半径r＝2.因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b×0±a×3|b2＋a22，即3a2c，即e＝ca32，又e1，故双曲线离心率的取值范围是1，32.答案：1，3210．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．解析：设∠PCA＝θ，θ∈0，π2，所以PQ＝22sinθ.又cosθ＝2AC，AC∈[3，＋∞)，所以cosθ∈0，23，所以cos2θ∈0，29，sin2θ＝1－cos2θ∈79，1，因为θ∈0，π2，所以sinθ∈73，1，所以PQ∈2143，22.答案：2143，2211．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则线段AB长度的最小值是________．解析：因为MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点，所以PC＝22r＝1，点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.圆心C到直线l：x－3y－5＝0的距离为|1－3×2－5|12＋（－3）2＝10.因为直线l上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，所以ABmin＝210＋2.答案：210＋212．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆4C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切．由题意得A(－2，0)，C(2，0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝2；若圆D与圆C内切，则DA－DC＝2.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线x212－y272＝1上，即14x2－2y2＝7.又点D在直线l上，由y＝x＋2，14x2－2y2＝7，得12x2－8x－15＝0，解得xD＝32或xD＝－56.所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝13.法二：由题意可得A(－2，0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点Ma－22，a＋22，AP＝2（a＋2）2，故以AP为直径的圆M的方程为x－a－222＋y－a＋222＝|a＋2|22.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故a－22－22＋a＋222＝2±|a＋2|2，解得a＝13或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为13，5.答案：13，513．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为c，b2a，c，－b2a，所以△FAB的面积为12·2c·2b2a，由条件得12·2c·2b2a＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝22.答案：2214．已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|PA―→＋PB―→|的取值范围为________．解析：因为A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，所以线段AB的中点H在圆O：x2＋y2＝14上，且|PA―→＋PB―→|＝2|PH―→|.因为点P5是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH―→|≤5＋32，即72≤|PH―→|≤132，所以7≤2|PH―→|≤13，从而|PA―→＋PB―→|的取值范围是[7，13]．答案：[7，13]B组——力争难度小题1．(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为________．解析：法一：根据题意得，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离不大于2，即|4a|1＋a2≤2，解得－33≤a≤33，于是a的取值范围是－33，33.法二：因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以AB为直径的圆上，记圆心为M，半径为1，且CM⊥直线l，又点C也在圆O：x2＋y2＝1上，所以C是两圆的交点，即OM≤2，所以dOM＝|4a|1＋a2≤2，解得－33≤a≤33，于是a的取值范围是－33，33.答案：－33，332．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝bax，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝|ba－a×0|b2＋a2＝abc.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝abc，即3b2＝abc，所以e＝23＝233.答案：2333．(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|最小时，k＝________．解析：由题意得，圆C1与圆C2外离，如图．因为PQ为切线，所6以PQ⊥C2Q，由勾股定理，得|PQ|＝|PC2|2－1，要使|PQ|最小，则需|PC2|最小．显然当点P为C1C2与圆C1的交点时，|PC2|最小，此时，|PC2|＝|C1C2|－1，所以当|C1C2|最小时，|PC2|就最小，|C1C2|＝k2＋（－k＋4）2＝2（k－2）2＋8≥22，当k＝2时，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小．答案：24．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p0)交于A，B两点．若AF＋BF＝