七年级数学下册 第1章 整式的乘除 1.6 完全平方式课件 （新版）北师大版

第一章整式的乘除初中数学（北师大版）七年级下册知识点完全平方公式完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.两数的和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们乘积的2倍.注意:(1)(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式;(2)公式的结构特征:左边是一个二项式的完全平方,右边是一个二次三项式,其中的两项是公式左边二项式中每一项的平方,还有一项是左边二项式中两项乘积的2倍,其符号与左边二项式中间的符号相同.例运用完全平方公式计算:(1)(-2x+5)2;(2)(-m-2n)2;(3) .23243xy解析(1)原式=(2x-5)2=(2x)2-2·2x·5+52=4x2-20x+25.(2)原式=(m+2n)2=m2+2·m·2n+(2n)2=m2+4mn+4n2.(3)原式= -2· x· y+ = x2-xy+ y2.234x3423223y91649题型一乘法公式的变形应用例1已知a2+b2=13,ab=6,求(a+b)2,(a-b)2的值.解析因为a2+b2=13,ab=6,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25,(a-b)2=a2+b2-2ab=13-2×6=1.点拨在利用完全平方公式进行计算时,经常会遇到公式的如下变形:(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;(2)(a-b)2+2ab=a2+b2;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(4)(a+b)2-(a-b)2=4ab.题型二运用完全平方公式进行简便运算例2计算:1022.解析1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.易错点运用完全平方公式时弄错符号例计算:(-2a-3b)2.错解原式=4a2-12ab+9b2.错因分析只注意了中间项的符号为“-”,就盲目套用公式是出错的根本原因.正解原式=[-(2a+3b)]2=(2a)2+2·2a·3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2.知识点完全平方公式1.如果ax2+2x+ = +m,则a,m的值分别是 ()A.2,0B.4,0C.2, D.4, 122122x1414答案D∵ax2+2x+ =4x2+2x+ +m,∴a=4, +m= ,∴m= .故选D.12141412142.已知x+y=-5,xy=6,则x2+y2=.答案13解析∵x+y=-5,∴(x+y)2=25,∴x2+2xy+y2=25.∵xy=6,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=25-12=13.3.整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2,则A=.答案4mn解析已知两数的和与其中一个加数,求另一个加数,用减法.A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)=m2+2mn+n2-m2+2mn-n2=4mn.4.计算:(1)(2a+5b)2;(2) ;(3)(-4a+3b)2;(4)(-x-y)2.2122xy解析(1)原式=4a2+20ab+25b2.(2)原式= x2+4y2-2xy.(3)原式=16a2-24ab+9b2.(4)(-x-y)2=x2+2xy+y2.145.计算:(1)9992;(2) .23994解析(1)9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+1=1000000-2000+1=998001.(2) = =1002-2×100× + =10000-50+ =9950 .23994211004142141161161.计算(-a-b)2等于 ()A.a2+b2B.a2-b2C.a2+2ab+b2D.a2-2ab+b2答案C可以先把负号提出来,再平方.2.下列式子中,总能成立的是 ()A.(a-1)2=a2-1B.(a+1)2=a2+a+1C.(a+1)(a-1)=a2-a+1D.(a+1)(1-a)=1-a2答案D根据完全平方公式可知(a-1)2=a2-2a+1,(a+1)2=a2+2a+1,根据平方差公式可知(a+1)(a-1)=a2-1,故A、B、C均不成立;D中(a+1)(1-a)=(1+a)(1-a)=1-a2,故D成立.3.小明计算一个二项式的平方时,得到正确结果a2-10ab+■,但最后一项不慎被污染了,这一项应是 ()A.5bB.5b2C.25b2D.100b2答案C∵-10ab=2×a×(-5)×b,∴最后一项为(-5b)2=25b2.4.计算:(1) ;(2)(-x+3y)2;(3)(-m-n)2;(4)(b+c)(-b-c).2122amb解析(1) = -2· am·2b+(2b)2= a2m2-2amb+4b2.(2)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2·3y·x+x2=9y2-6xy+x2.(3)(-m-n)2=[-(m+n)]2=(m+n)2=m2+2mn+n2.(4)(b+c)(-b-c)=-(b+c)2=-(b2+2bc+c2)=-b2-2bc-c2.2122amb212am12141.已知(2x+m)2=4x2+nx+9,则n的值为 ()A.±6B.±12C.±18D.±36答案B∵(2x+m)2=4x2+4xm+m2=4x2+nx+9,∴4m=n,m2=9,∴m=±3,n=±12,故选B.2.已知a-b=3,则代数式a2-b2-6b的值为 ()A.3B.6C.9D.12答案C由a-b=3,得a=b+3,则原式=(b+3)2-b2-6b=b2+6b+9-b2-6b=9,故选C.3.计算:(1)(3x-2y)2-(3x+2y)2;(2)(a-2b+1)(a+2b-1)-(a+2b)(a-2b);(3)(a+b)2(a-b)2.解析(1)原式=(9x2-12xy+4y2)-(9x2+12xy+4y2)=-24xy.(2)原式=a2-(2b-1)2-(a2-4b2)=a2-4b2+4b-1-a2+4b2=4b-1.(3)原式=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4.4.已知a-b=5,ab=4,求:(1)3a2+3b2的值;(2)(a+b)2的值.解析(1)因为a-b=5,所以(a-b)2=25,所以a2+b2-2ab=25,又ab=4,所以a2+b2=33,所以3a2+3b2=3(a2+b2)=3×33=99.(2)(a+b)2=a2+b2+2ab=33+2×4=41.1.(1)化简:(x+3y+2)(x-3y+2);(2)化简求值:(2x+y)2-(2x-y)(x+y)-2(x-2y)(x+2y),其中x= ,y=-2.12解析(1)原式=[(x+2)+3y][(x+2)-3y]=(x+2)2-(3y)2=x2+4x+4-9y2.(2)原式=4x2+4xy+y2-(2x2+2xy-xy-y2)-2(x2-4y2)=4x2+4xy+y2-2x2-2xy+xy+y2-2x2+8y2=3xy+10y2.当x= ,y=-2时,原式=3× ×(-2)+10×(-2)2=37.12122.(2016山东文登期末)一个正方形的边长为a,将正方形的各边减小b(ba),请计算出正方形的面积减小了多少,并用几何图形直观地说明,将减小的部分用阴影表示出来.解析a2-(a-b)2=a2-(a2-2ab+b2)=a2-a2+2ab-b2=2ab-b2. 一、选择题1.(2018山东淄博临淄一中期中,7,★★☆)设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A= ()A.30abB.60abC.15abD.12ab答案B(5a+3b)2=25a2+30ab+9b2,(5a-3b)2+A=25a2-30ab+9b2+A,∴A=60ab.二、填空题2.(2018江苏仪征古井中学月考,10,★★☆)若二次三项式x2-kx+25是完全平方式,则k的值为.答案±10解析x2±10x+25=(x±5)2,∴k=±10.三、解答题3.(2017江苏仪征第三中学周考,21,★☆☆)已知x2-5x=14,求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.解析原式=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1=x2-5x+1,将x2-5x=14代入上式,得原式=14+1=15.1.(2018江苏淮安洪泽期末,8,★★☆)下列各式中计算正确的是 ()A.(a-b)2=a2-b2B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2C.(a2+1)2=a4+2a+1D.(-m-n)2=m2+2mn+n2答案DA项,应为(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项错误;B项,应为(a+2b)2=a2+4ab+4b2,故本选项错误;C项,应为(a2+1)2=a4+2a2+1,故本选项错误;D项,(-m-n)2=m2+2mn+n2,正确.故选D.2.(2018上海浦东新区期中,21,★★☆)计算: -  .212xy12xy12yx解析原式=x2-xy+ y2- =-xy+ y2.142214xy12一、选择题1.(2018河北中考,4,★★☆)将9.52变形正确的是 ()A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52答案C9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52,故选C.2.(2018四川内江中考,4,★☆☆)下列计算正确的是 ()A.a+a=a2B.(2a)3=6a3C.(a-1)2=a2-1D.a3÷a=a2答案DA.a+a=2a≠a2,故该选项错误;B.(2a)3=8a3≠6a3,故该选项错误;C.(a-1)2=a2-2a+1≠a2-1,故该选项错误;D.a3÷a=a2,故该选项正确,故选D.二、填空题3.(2018贵州安顺中考,14,★★☆)若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,则m=.答案-1或7解析由题意得2(m-3)=±8,则m=-1或7.4.(2015广西崇左中考,18,★★☆)4个数a,b,c,d排列成 ,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为 =ad-bc.若 =12,则x=.abcd　　abcd　　3333xxxx　　答案1解析因为 =12,所以(x+3)2-(x-3)2=12,解得x=1.3333xxxx　　三、解答题5.(2018江苏扬州中考,19,★★☆)化简:(2x+3)2-(2x+3)(2x-3).解析原式=4x2+12x+9-(4x2-9)=4x2+12x+9-4x2+9=12x+18.1.(2018四川南充中考,4,★☆☆)下列计算正确的是 ()A.-a4b÷a2b=-a2bB.(a-b)2=a2-b2C.a2·a3=a6D.-3a2+2a2=-a2答案D-a4b÷a2b=-a2,故选项A错误,(a-b)2=a2-2ab+b2,故选项B错误,a2·a3=a5,故选项C错误,-3a2+2a2=-a2,故选项D正确.2.(2016四川南充中考,14,★★☆)如果x2+mx+1=(x+n)2,且m0,则n的值是.答案1解析∵x2+mx+1=(x±1)2=(x+n)2,∴m=±2,n=±1,∵m0,∴m=2,∴n=1.3.(2018浙江温州中考,17,★★☆)化简:(m+2)2+4(2-m).解析(m+2)2+4(2-m)=m2+4m+4+8-4m=m2+12.1.若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求 的值.解:m2+2mn+2n2-6n+9=0,(m+n)2+(n-3)2=0,解得n=3,m=-3.故 = =- .根据你的观察,解决下面的问题:(1)若x2+4x+4+y2-8y+16=0,求 的值;(2)若x2+2y2-2xy+2y