以问题为导向的高中数学课堂教学策略的研究与

215以问题为导向的高中数学课堂教学策略的研究与实践广东仲元中学谭曙光高中数学新课程，对数学课堂教学提出了新的要求，传统的课堂教学策略措施已不能完全适应现实教学实践的需要，新的教学实践急需革新与传统教学观相联系的师生教学行为和教学策略。本文对新课程视野下高中数学课堂教学的问题解决策略作些思索与探讨。一、问题解决教学概述教学策略就是教师为了昀优化地实现特定的教学目标，围绕教学过程而采取的系统谋划及其相关的重要举措。高中数学问题解决教学策略就是为解决新课程下，高中数学课堂教学的效率而提出的一种教学策略。“问题解决教学”是由波利亚1940年提出来的，在20世纪80年代以来掀起的世界范围内的数学课程改革的浪潮中，得到各国的重视，成为当代各国中学数学教学改革的一种指导思想。“以问题为导向的高中数学课堂教学”就是以数学问题为中心，在教师的引导下，通过学生独立思考、交流讨论等形式，在对数学问题进行求解、发展与延伸、迁移与变形等环节中，培养学生处理信息、获取新知、应用新知的能力，培养学生积极探索的科学精神和团结协作精神。多元智能理论认为，解决问题是人的智能的集中体现；智能是人类心智的能力，它使人能解决真正意义上的问题或困难，并拥有发现或创造问题的潜能。“思维是从问题开始的”，问题解决教学策略主张从问题情景出发，构造数学模型，提供数学想象，伴以实际操作，鼓励发散思维，诱发创造能力，把数学嵌入活的认识过程中去，从不216断解决问题中学习数学。通过问题，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。从教学的策略上讲，需要解决两大问题：一是怎样设计问题，二是怎样进行问题教学。二、问题设计的要求与原则问题解决教学的前提是问题的设计，从而问题设计的好坏，是实现高效率的课堂教学的关键，这就要求教师必须设计出一个好问题。在问题设计中，应当达到如下要求：第一，从学习者的角度来看，“问题”必须具有可接受性、障碍性和探究性。可接受性是指问题要容易为学生所理解，要有一定的意义，容易引起学生对问题的关注；障碍性是要求问题要符合昀近发展区原理，也就是问题的解决办法不是显而易见的，是没有现成的方法可供使用的但又确实与已学内容有一定联系的问题；探究性是指学生能进行探究，而探究的过程又有明确的价值取向。第二，从教师角度来看，“问题”应当有可控性。可控性是指教师对所选问题在尝试引导环节中要能对学生的活动围绕着教学中心加以适当的控制与诱导。第三，从数学内部来看，问题要具有可生成性、开放性。可生成性是指所选取的问题要有新问题或新知识的生长点，能够在部份更改条件下能产生新的问题，或是问题能够迁移、变形或变换思维角度有不同的解法。在问题的设计中，教师必须创造性地加工和处理教材，对教学内容做到舍取有度，符合如下原则。1．现实性原则构建真实的问题情境，有助于学生发现那些对他们个人来说是真217实的挑战，从而促使他们全身心地投入到学习活动。例如，在讲不等关系时，提出如下问题：4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，而6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要多少钱。用一个学生昀熟悉的问题打开学生思维的阀门。2．思考性原则为学生提供适当的思考空间是问题设计的关键。创设问题情境的核心是要激活学生的思维，引导学生进行创造性的思考。设计的问题必须要有思考性，要为学生提供一定的思考空间。例如：面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），若a11=a22=a33=a44=k，则412()iiSihk==∑。如果体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi（i=1，2，3，4）。若S11=S22=S33=S44=k，探究41()iiiH=∑的值。此题向学生展示了较大的思考空间，也对学生的数学素养提出了要求，既考查学生的类比思维能力，也考查学生的推理论证能力。3、针对性原则紧扣有关的数学学习内容是提出问题的基本出发点。数学学习的昀终目标是让学生在解决问题过程中获得对数学的理解，掌握有关的数学知识，并形成数学思考的能力。因此，问题的设计必须要有针对性。一方面，教师要把握教材内容的“数学内涵”218及其相互关系，抓住其中的核心和相关的问题。另一方面，要注意为学生提供一些数学知识的“原型”问题，让学生经历数学的转化过程。例如：已知圆O：122=+yx，圆C：1)4()2(22=−+−yx，由两圆外一点),(baP引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；（Ⅱ）求切线长|PA|的昀小值；（Ⅲ）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.求实数a、b满足的等量关系实际上是求动点P的轨迹方程，在解题时，要利用几何关系；求切线长|PA|的昀小值实际上是转化为求圆心到直线PA的距离，回归到昀基础的知识——点到直线的距离；而第3问是研究圆与圆的位置关系。从而此问题把握教材内容的“数学内涵”及其相互关系，抓住其中的核心和相关的问题。这样，使学生在解决问题并进行数学化过程中，获得对数学知识的真正理解。4、挑战性原则让学生的思维经受来自问题的挑战是问题设计的又一原则。向学生提出有挑战性的问题，并不意味着要难倒学生，而是指根据学生已有的知识经验和智能发展水平，尽可能在学生的“昀近发展区”提出问题。要通过提出有挑战性的问题，刺激和激励学生积极探索。例如：已知D是定圆A上的点，C是圆A所在平面上一定点，线段CD中点为E，当D在圆A上运动时，求点E的轨迹。在上述问题中，过E作CD的垂线，交DA的于F，则当D在圆A上运动时，问点F的轨迹是什么图形。学生在思考时，有的说是圆，有的说是椭圆，还有的说是双曲线。那么到底是什么图形呢？教师引导学生219用几何画版进行探究，得出的结论是：随着C点的位置不同，它表示不同的曲线。这样，使学生在解决问题的过程中，不断地扩展已有的认知结构。5．开放性原则在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达。数学教学要关注学生对问题的反思与思维能力的培养，要培养学生提出问题和发现问题的能力。从而，问题的设计要具有开放性，使学生在探究的过程学会运用数学思想与数学方程分析解决问题。例如：求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积163后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为163，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163，求所有侧面面积之和的昀小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy中，求点P(2，1)到直线3x+4y=0的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.点P(2，1)到直线3x+4y=0的距离为|3×2+4×1|32+42=2。“逆向”问题可以是：(1)求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程.(2)若点p（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程.意义不大的“逆向”问题可能是：220(3)点p（2，1）是不是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点？(4)点Q（1，1）是不是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点？(5)点p（2，1）是不是到直线5x+12y=0的距离为2的一个点？本题是一个非常好的开放性题，对学生的知识要求不高，但要求学生运用数学定义去寻找新的问题，问题的开放性培养了学生的思维能力与探究能力。三、问题解决教学策略的教学实践有人说，数学教育就是以消灭问题的教育，使学生由有问题变为没有问题。这一观点有它的片面性。问题解决教学策略既以解决问题为已任，更以提出新的问题为已任。从其结构来说，可描述为“问题——探究——解决——生成新的问题——再探究——再解决——再生成新的问题”。即它在教学的过程中，是以解决一个“问题连续体”为其教学的目的。按照多元智能的“问题连续体”的发明人美国亚利桑那大学琼·梅克[JumeMaker]教授的观点：“问题连续体”以“问题定义”为中心，以“方法”为中介，以“答案”为结果。根据问题解决的情境进行分类，标示着学生能力发展的不同水平，从而构成了五个层次的问题类型。第一个层次的问题类型，是“问题”和“方法”师生均为已知，“答案”教师已知，而学生末知，要求学生根据掌握的方法来解决问题。第二个层次的问题类型，是“问题”师生已知，而“方法”却对学生隐蔽，要求他们独立寻找解决问题的方法。第三个层次的问题类型，要求学生运用一系列的方法来解决问221题，其答案相应也是一系列的，也就是说方法和答案都是多元的。第四个层次的问题类型，要求方法和答案均是开放的。第五个层次的问题类型，不仅方法、答案开放，而且问题也是开放的，学生必须在问题解决之前，先定义问题，要求他们具有“发现问题”和“定义问题”的能力。从而，问题解决教学策略就是完成这样一个“问题连续体”的过程，当然，在一节课中，不一定要全部完成五个层次。下面用一个课例来说明其操作。课题：圆与圆的位置关系教师：同学们，在前面的几节课里我们学习了点到直线的距离、圆的标准方程、圆的一般方程以及直线与圆的位置关系，请同学们完成下列问题。1、圆心在C（0,3），经过点P（3，－1），求圆的方程。2、圆心在C（1,3）和直线y=x相切的圆的方程。3、(x-1)2＋(y+2)2与4x-3y+5=0位置关系。[这就是第一个层次的问题类型，是“问题”和“方法”师生均为已知，“答案”教师已知，而学生未知，要求学生根据掌握的方法来解决问题。从学生的昀近发展区出发，引入问题，激发学生的求知欲。在学生自主探究后，师生共同进行评议]。教师：要求圆的方程必须知道什么条件？同学：圆心和半径。教师：对，那么第1题中知不知道圆心？学生：知道。教师：如何求半径？222学生：用点到点的距离公式求半径，求得半径为5。所以圆的方程为x2+(y-3)2=25学生：在第2题中同样知道圆心，需要求半径，可以用点到直线距离求半径，求得半径为2，圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=2教师：第3题是我们昨天学习的直线与圆的位置关系，怎样判断直线与圆位置关系？学生甲：把直线方程和圆的方程联立方程组，得到一个一元二次方程，通过判别式来判断直线与圆的位置关系。学生乙：判断圆心到直线的距离d和半径r的大小。如果dr，那么相离；如果dr，那么相交，如果d=r，那么相切。教师：请同学们思考，圆与圆的位置关系有哪几种呢？学生：五种：外离、外切、相交、内切、内含。教师：我们在判断直线与圆的位置关系的时候是通过比较圆心到直线的距离d和半径r的大小来判断，那么我们讨论两圆位置关系是不是也能用相同的方法来研究？[生成了第二类型问题，教师以学生已有的知识为起点，进入新的问题，学生带着新问题进行自主和合作学习]教师：请同学们总结一下你们讨论的结果。学生：是通过比较圆心距与半径和或者半径差来判断的，1．当d＞1r＋2r时，⊙A与⊙B相离2．当d＝1r＋2r时，⊙A与⊙B外切3．当1r－2r＜d＜1r＋2r时，⊙A与⊙B相交4．当d＜1r－2r时，⊙A与⊙B内含5．当d＝1r－2r时，⊙A与⊙B内切223教师引导学生评议存在的问题，并归纳出解题步骤。教师：下面请同学们用所学的知识，完成下列问题：判断下列两圆位置关系（限时五分钟）1．C1：(x+2)2+(y-2)2=13，C2：(x-4)2+(y+2)2=132．C1：x2+y2=9，C2：(x-2)2+y2=13．C1：x2+y2+2x-6y-26=0，C2：x2+y2-4x+2y-4=04．C1：x2+y2－2x＋10y-24=0，C2：x2+y2＋2x+2y-8=0[进入第三类型问题，要求学生运用所学的知识来解决问题，此过程是学生独立的学习]五分钟后，学生解答：（1）外切（2）内切（3）内切[课堂按教师事先的预设顺利进行，从问题引入到新问题的生成再到问题的解决，几乎都