（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（二十二） 应用题

1课时达标训练(二十二)应用题A组——大题保分练1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝43.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－43.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝34.设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝b－0a－170＝－43，①kAB＝b－60a－0＝34.②联立①②解得a＝80，b＝120.所以BC＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－43(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝|3d－680|42＋32＝680－3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，2所以r－d≥80，r－（60－d）≥80，即680－3d5－d≥80，680－3d5－（60－d）≥80.解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．法二：(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝43，所以sin∠FCO＝45，cos∠FCO＝35.因为OA＝60，OC＝170，所以OF＝OCtan∠FCO＝6803，CF＝OCcos∠FCO＝8503，从而AF＝OF－OA＝5003.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝45.又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4003，从而BC＝CF－BF＝150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝MDMF＝MDOF－OM＝r6803－d＝35，所以r＝680－3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以r－d≥80，r－（60－d）≥80，即680－3d5－d≥80，680－3d5－（60－d）≥80.解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝680－3d5最大，即圆面积最大．3所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．2．(2019·苏锡常镇一模)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的垂直平分线OP恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．(1)求出n关于m的函数关系式；(2)当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．解：(1)以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)．∵曲线段APB为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为y＝a(x－20)(x＋20)，将P(0，40)代入得40＝－400a，解得a＝－110，∴抛物线的解析式为y＝110(400－x2)．∵点C在抛物线上，∴n＝110(400－m2)，0m20.(2)设等腰梯形ABCD的面积为S，则S＝12×(2m＋40)×110(400－m2)，S＝110(－m3－20m2＋400m＋8000)，S′＝110(－3m2－40m＋400)＝－110(3m－20)(m＋20)，令S′＝0，得m＝203.m0，203203203，20S′＋0－S极大值∴当m＝203时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为2560027平方米．43．(2019·苏锡常镇二模)某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？解：设圆锥形容器的底面半径为r米，高为h米，母线长为l米，侧面积为S平方米，容积为V立方米，则V＝36π.(1)由r＝6，V＝13πr2h＝36π，得h＝3，所以S＝πrl＝πrr2＋h2＝6π62＋32＝185π.易知该容器的底面积为πr2＝36π(平方米)，所以该容器的表面积为185π＋36π＝18(2＋5)π(平方米)．答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(2)因为V＝13πr2h＝36π，所以r2＝3×36ππh＝108h，其中h0.则S＝πrl＝πrr2＋h2＝πr4＋r2h2＝π1082h2＋108hh2＝π1082h2＋108h＝π108108h2＋h，记f(h)＝108h2＋h(h0)，则f′(h)＝－216h3＋1＝h3－216h3，令f′(h)＝0，得h＝6.当h∈(0，6)时，f′(h)0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h∈(6，＋∞)时，f′(h)0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．所以，当h＝6时，f(h)最小，此时S最小，最小值为183π.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．4．(2019·南京四校联考)如图，某生态园区P的附近有两条相交成45°角的直路l1，l2，交点是O，P到直路l1的距离为1km，到直路l2的距离为2km，现准备修建一条通过该生态园区的直路AB，分别与直路l1，l2交于点A，B.(1)当AB的中点为P时，求直路AB的长度；(2)求△AOB面积的最小值．5解：以直路l1所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．因为直路l1，l2相交成45°角，所以直路l2所在直线的方程为x－y＝0.因为P到直路l1的距离为1km，到直路l2的距离为2km，所以可设P(x0，1)(x01)，所以x0－12＝2，解得x0＝3，所以P(3，1)．(1)法一：设B(a，a)，因为P(3，1)是AB的中点，所以A(6－a，2－a)．由于A在x轴上，所以2－a＝0，即a＝2.所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝（4－2）2＋（0－2）2＝22.所以直路AB的长度为22km.法二：当直线AB的斜率不存在时，不满足题意，舍去．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，由题意知k1或k0，则直线AB的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，所以A3－1k，0.联立，得y＝x，kx－y－3k＋1＝0，可得B3k－1k－1，3k－1k－1.由P(3，1)是AB的中点，得3k－1k－1＝2，解得k＝－1，所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝（4－2）2＋（0－2）2＝22.所以直路AB的长度为22km.(2)设B(a，a)(a1)，当a＝3时，A(3，0)，所以△AOB的面积为92km2.当a1且a≠3时，设直线AB的方程为y－1＝a－1a－3(x－3)．令y＝0，得x＝2aa－1，即A2aa－1，0，所以S△AOB＝12×2aa－1×a＝(a－1)＋1a－1＋2≥2（a－1）×1a－1＋2＝4，当且仅当a－1＝1a－1，即a＝2时取等号．又924，所以△AOB面积的最小值为4km2.B组——大题增分练61．(2019·扬州期末)为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB＝3百米，AD＝5百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈π2，π.(1)当cosθ＝－55时，求小路AC的长度；(2)当草坪ABCD的面积最大时，求小路BD的长度．解：(1)在△ABD中，由BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosθ，得BD2＝14－65cosθ，又cosθ＝－55，∴BD＝25.∵θ∈π2，π，∴sinθ＝1－cos2θ＝1－－552＝25.在△ABD中，由BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，得2525＝3sin∠ADB，解得sin∠ADB＝35.∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠CDB＝π2且CD＝BD＝25，∴cos∠ADC＝cos∠ADB＋π2＝－sin∠ADB＝－35.在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝(5)2＋(25)2－2×5×25×－35＝37，得AC＝37，所以当cosθ＝－55时，小路AC的长度为37百米．(2)由(1)得BD2＝14－65cosθ，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12×3×5×sinθ＋12×BD2＝7＋352sinθ－35cosθ＝7＋352(sinθ－2cosθ)＝7＋152sin(θ－φ)，其中sinφ＝25，cosφ＝15，且φ∈0，π2.当θ－φ＝π2，即θ＝φ＋π2时，四边形ABCD的面积最大，此时sinθ＝15，cosθ＝－25，7∴BD2＝14－65cosθ＝14－65×－25＝26，∴BD＝26，∴当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为26百米．2．(2019·南京盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB(劣弧AB︵所对的扇形)所在的区域，其中点A，B均在圆O上，观众席为梯形ABQP以内、圆O以外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝2π3，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米(即要求PO≤60)．设∠OAB＝α，α∈0，π3.问：对于任意的α，上述设计方案是否均能符合要求？解：过点O作OH垂直于AB，垂足为H.在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα，所以AB＝AP＝BQ＝40cosα.由题图可知，观众席内点P，Q处的观众离点O处最远．连接OP，在△OAP中，由余弦定理可知，OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cosα＋2π3＝400＋(40cosα)2－2×20×40cosα·－12cosα－32sinα＝400(6cos2α＋23sinαcosα＋1)＝400(3cos2α＋3sin2α＋4)＝8003sin2α＋π3＋1600.因为α∈0，π3，所以当2α＝π6，即α＝π12时，OP2取得最大值，(OP2)max＝8003＋1600，即(OP)max＝203＋20.同理，连接OQ，在△OBQ中，(OQ)max＝203＋20.因为203＋2060，所以观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米．故对于任意的α，上述设计方案均能符合要求．83．(2019·无锡期末)我国坚持精准扶贫，确保至2020年农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植工作，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村