九年级数学下册 第二章 二次函数 2.3 确定二次函数的表达式课件（新版）北师大版

2.3确定二次函数的表达式第二章1课堂讲解确定二次函数的表达式用一般式（三点式）确定二次函数表达式用顶点式确定二次函数表达式用交点式确定二次函数的表达式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4,3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？知识点确定二次函数的表达式想一想确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.1总结形式含有的字母需用条件y＝ax2a一个y＝ax2＋ca，c两个y＝a(x－h)2a，hy＝a(x－h)2＋ka，h，k三个y＝ax2＋bx＋ca，b，cy＝a(x－x1)(x－x2)a，x1，x21.总结2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫待定系数法．1．用待定系数法求二次函数的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同的已知条件来确定的．(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时，应灵活地选用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．2．易错警示：根据题目中的条件设出相应的函数表达式．例1已知二次函数y=ax²+c的图象经过点（2，3)和（-1，-3)，求这个二次函数的表达式.解：将点(2,3)和(-1，-3)的坐标分别代入表达式y=ax2+c，得解这个方程组，得所以，所求二次函数表达式为y=2x2-5.=ac,ac.343==-a,c.25导引：由题意可得A点的坐标为(2，－1)．∵抛物线的顶点在坐标原点，∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2.将点A(2，－1)的坐标代入，可得a＝－，∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2.例2〈衡阳改编，图文信息题〉如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行于x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2，1)，此抛物线对应的函数表达式为___________．1414yx214总结如果已知函数图象，函数图象的位置可决定函数的形式，特别关注的是顶点的位置：若顶点在原点上，则y＝ax2(a≠0)；若顶点在y轴上，则y＝ax2＋c(a≠0)；若顶点在x轴上，则y＝a(x－h)2(a≠0)；若顶点不在坐标轴上，则y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．1(1)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2,3)两点，求这个二次函数的表达式；(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数与第(1)题相同.2知识点用一般式(三点式)确定二次函数表达式例3已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式，得==解这个方程组，得=-=abc,a,abc,b,abc.c.102437425所以，所求二次函数表达式为y=2x2-3x+5.因为y=2x2-3x+5=2所以，二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为x,233148x34，.33148例4〈武汉改编〉科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另一种函数的理由．(2)温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．温度x/℃…－4－20244.5…植物每天高度增长量y/mm…414949412519.75…导引：由x，y的对应关系，易知y是x的二次函数．解：(1)选择二次函数，设y＝ax2＋bx＋c，∴y关于x的函数关系式是y＝－x2－2x＋49.不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.即当温度为－1℃时，这种植物每天高度的增长量最大．(3)－6＜x＜4.得解得c,a,abc,b,abc,c,49142492424149总结已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：第一步：设一般式y＝ax2＋bx＋c；第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一个三元一次方程组；第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．1(2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是()A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线x＝－x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…522(中考·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．3已知二次函数的图象经过点(0,2),(1，0)和(-2,3)，求这个二次函数的表达式.3知识点用顶点式确定二次函数表达式二次函数y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k，顶点是(h,k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.例5已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的表达式.解：依题意设y＝a(x-h)2＋k，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入得3=a(0-4)2-1,解得a=，∴这条抛物线的表达式为：y=(x-4)2-1.1414总结若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k(a≠0).1已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,1),且经过点(1,-3)，求这个二次函数的表达式.2已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a0)经过其中三个点．(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a0)上．(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．4知识点用交点式确定二次函数的表达式例6〈宁波〉如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线对应的函数表达式．导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)．(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．总结此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求其表达式时，一般采用二次函数的交点式．1(中考·宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线对应的函数表达式．用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法：若已知图象上三个任意点的坐标，则利用一般式y＝ax2＋bx＋c求；若已知图象的顶点坐标(或对称轴或函数的最值)，则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；若已知图象与x轴的两个交点，则利用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)求．