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当前位置:首页 > 临时分类 > 九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 专题七 解直角三角形的应用课件
专题七解直角三角形的应用教材母题(教材P97第8题)如图,两建筑物的水平距离BC为32.6m,从A点测得D点的俯角为35°12′,测得C点的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高(tan35°12′≈0.71,tan43°24′≈0.95,结果保留小数点后一位)解:过点D作DE⊥AB于E,在Rt△AED中,AEED=tan∠ADE=tanα,∴AE=ED·tanα,在Rt△ABC中,ABBC=tan∠ACB=tanβ,∴AB=BC·tanβ=32.6×tan43°24′≈31.0m,∴EB=AB-AE=BC·tanβ-ED·tanα=32.6×tan43°24′-32.6×tan35°12′≈7.0,∵EB=CD,∴CD≈7.0m【规律与方法】弄清各名词及术语的意义,将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,当某些图形不是直角三角形时,可通过辅助线,把它分割成直角三角形或已学过的特殊四边形,然后解这个直角三角形.变式1.(2014·西宁)如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,则二楼的层高BC约为(精确到0.1米,sin42°≈0.67,tan42°≈0.90)()A.10.8米B.8.9米C.8.0米D.5.8米变式2.(2014·台州)如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发,沿着俯角为15°的方向,直线滑行1600m到达D点,然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC(结果精确到1m).解:过点D作DE⊥AC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,由题意可得:∠ADE=15°,∠BDF=15°,AD=1600,AC=500,∴cos∠ADE=cos15°=DEAD≈0.97,DE=0.97×1600=1552,AEAD=sin15°≈0.26,AE=416,∴DF=500-416=84(m),∴tan∠BDF=tan15°=BFDF≈0.27,∴BF=22.68(m),∴BC=CF+BF=1552+22.68≈1575(m),所以他飞行的水平距离为1575mD变式3.(2014·枣庄)如图,一扇窗户垂直打开,即OM⊥OP,AC是长度不变的滑动支架,其中一端固定在窗户的点A处,另一端在OP上滑动,将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置,此时,点A,C的对应位置分别是点B,D.测量出∠ODB为25°,点D到点O的距离为30cm.(1)求B点到OP的距离;(2)求滑动支架的长.(结果精确到1cm.参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)解:(1)在Rt△BOE中,OE=BEtan55°,在Rt△BDE中,DE=BEtan25°,则BEtan55°+BEtan25°=30,解得BE≈10.6cm.故B点到OP的距离大约为10.6cm(2)在Rt△BDE中,BD=BEsin25°≈25.2cm.故滑动支架长25.2cm变式4.(2014·潍坊)如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后:沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.解:如图,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,则四边形ABFE为矩形,所以AE=BF=1100-200=900,CD=19900.∴在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=900,∴CE=AEtan∠C=900tan45°=900,在Rt△BFD中,∠BDF=60°,BF=900,∴DF=BFtan∠BDF=900tan60°=3003,∴AB=EF=CD+DF-CE=19900+3003-900=19000+3003,答:两海岛之间的距离AB是(19000+3003)米变式5.(2014·徐州)如图,轮船从点A处出发,先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处,再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处.(1)求点C与点A的距离(精确到1km);(2)确定点C相对于点A的方向.(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解:(1)过点A作AD⊥BC于点D,由图得,∠ABC=75°-15°=60°,在Rt△ABD中,∵∠ABC=60°,AB=100,∴BD=50,AD=503,∴CD=BC-BD=200-50=150,在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC=AD2+CD2=1003≈173(km)(2)在△ABC中,∵AB2+AC2=1002+(1003)2=40000,BC2=2002=40000,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°,∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=90°-15°=75°.答:点C位于点A的南偏东75°方向变式6.(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30°,AC长332米,钓竿AO的倾斜角是60°,其长为3米,若AO与钓鱼线OB的夹角为60°,求浮漂B与河堤下端C之间的距离.解:延长OA交BC于点D,∵AO的倾斜角是60°,∴∠ODB=60°,∵∠ACD=30°,∴∠CAD=180°-∠ODB-∠ACD=90°,在Rt△ACD中,AD=AC·tan∠ACD=332·33=1.5(米),∴CD=2AD=3米,又∵∠O=60°,∴△BOD是等边三角形,∴BD=OD=OA+AD=3+1.5=4.5(米),∴BC=BD-CD=4.5-3=1.5(米).答:浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.变式7.(2014·仙桃)如图,在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB,其正前方矗立着一大型广告牌,当阳光与水平线成45°角时,测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米,落在广告牌上的影子CD的长为4米,求铁塔AB的高(AB,CD均与水平面垂直,结果保留根号).,解:过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F,在Rt△DBF中,∠BDF=30°,BF=DB·sin30°=12DB=3,DFDB=cos30°=32,∴DF=6×32=33,∵CE=DF,∴CE=DF=33,在Rt△ACE中,由题意可知∠ACE=45°,AECE=tan45°=1,∴AE=CE=33,∴AB=AF-BF=AE+EF-BF=33+4-3=(33+1)米,所以铁塔AB的高为(33+1)米.
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