九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系课件（新版）北师大版

2.5一元二次方程的根与系数的关系第二章1.一元二次方程的解法2.求根公式数学活动一复习提问一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac≥0)1.观察并猜想.方程x1,x2x1+x2x1.x2x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0问题：你发现有什么规律？（1）用语言叙述你发现的规律；（2）x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示其中的规律.数学活动二1,1212,-5-3-10-1,-4-5420pxqx如果关于x的方程的两根是,,则:x1x212pxx12qxx问题反思如果方程二次项系数不为1呢?数学活动三方程x1,x2x1+x2x1.x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0问题：上面发现的结论在这里成立吗？（1）用语言叙述发现的规律；（2）ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示其中的规律.2.填表，观察并猜想.一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=x1x2=ab-ac注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0归纳总结（韦达定理）韦达（1540－1603）韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.年轻时当过律师，后来致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步.他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为‘韦达定理’）.韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.走近韦达一元二次方程根与系数的关系aacbbx2421aacbbx2422∴x1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-∴x1x2=aacbb242aacbb242·=22224)4()(aacbb=244aac=ac(1)x2-2x-1=0(2)2x2-3x+=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-234134例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：解：（1）由题意可知a=1，b=7，c=6.△=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25＞0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-7，x1·x2=6.典例精讲(1)x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：典例精讲(1)x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.解：（2）由题意可知a=2，b=-3，c=-2.△=b2-4ac=（-3）2-4×2×（-2）=9+16=25＞0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1·x2=-1.23不解方程，求方程两根的和与两根的积：02512xx)(012822xx)(0411)3(2xx01342xx)(例2:已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：解法一：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得2x1＝3k即2x1＝-6∴x1＝-3答：方程的另一个根是-3,k的值是-2.典例精讲解法二：设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1＋2=k+12x1=3k解这方程组，得x1=-3k=-2答：方程的另一个根是-3,k的值是-2.例2:已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.典例精讲1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？21310xx（）22322xx（）23230xx（）2431x（）学以致用2.已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.3.设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1=,∴x1=,316又x1·1=,3m∴m=3x1=16.解：由根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1·x2=23∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=23.254.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得04)1(422kk即-8k+4≥021k由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去.∴k=0.通过本节课的学习你学到了那些知识？课堂小结一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.一正根，一负根△＞0x1x2＜0两个正根△≥0x1x2＞0x1+x2＞0两个负根△≥0x1x2＞0x1+x2＜0{{{必做：第51页习题2.8第1,2题选做：第51页习题2.8第3,4题