九年级数学上册 第24章 圆 24.3 正多边形和圆习题课件（新版）新人教版

第二十四章圆24.3正多边形和圆第二十四章圆24.3正多边形和圆考场对接题型一圆内接正多边形的判断考场对接例题1已知：如图24-3-6,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．分析要证明五边形AEBCD是正五边形,就是证明这个五边形的五条边所对的劣弧相等．证明∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°,∴BC=BE=AE=DA=CD,∴五边形AEBCD是正五边形．锦囊妙计证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法(1)证明圆内接多边形的每个内角相等,每条边也相等,二者缺一不可.(2)证明圆内接多边形的各边所对的劣弧相等.技巧：当边数是奇数时,各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.题型二正多边形的有关计算例题2有一边长为6的正n边形,它的一个内角为120°,则其半径为().A．12B．6C．4D．6B分析因为正多边形的内角是120°,所以该正多边形是正六边形.又因为该正六边形的边长为6,正六边形的半径等于边长,所以正六边形的半径为6.锦囊妙计正多边形的相关计算技巧(1)正n边形的半径、中心到一边的垂线段、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都可以转化为直角三角形的问题,常作半径、边心距构造直角三角形.(2)正六边形的边长等于它的半径,正三角形的边长等于它的半径的倍,正方形的边长等于它的半径的倍.题型三作正多边形例题3[镇江中考]图24-3-7①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形—正八边形.如图24-3-7②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).分析(1)过点O作GC⊥AE,与⊙O相交于点G,C；(2)连接AG,过点O作HD⊥AG,与⊙O相交于点H,D；(3)连接GE,过点O作FB⊥GE,与⊙O相交于点F,B；(4)顺次连接点A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH为所求作的正八边形.解如图24-3-8所示,八边形ABCDEFGH为所求作的正八边形.锦囊妙计作正多边形的方法(1)在圆中,用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,就可以把圆四等分,从而作出正方形；再继续作与正方形相邻两边垂直的直径,即可作出正八边形,重复上面的作法可作出正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.(2)因为正六边形的边长等于半径,所以在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦,就可以把圆六等分,顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.在正六边形的基础上可作出正十二边形和正三角形.题型四正多边形旋转的运用例题4如图24-3-9,将正六边形ABCDEF的中心角(为60°)绕中心O旋转,记旋转后的角为∠MON.试证：无论中心角旋转到什么位置,所形成的阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的.分析证明如图24-3-9,连接OA,OB.∵∠AOM+∠AON=60°,∠AON+∠BON=60°,∴∠AOM=∠BON.∵∠OAM+∠OAB=120°,∠OBA+∠OAB=120°,∴∠OAM=∠OBN.又∵OA=OB,∴△OAM≌△OBN,∴S阴影=S△OAB=S正六边形ABCDEF.锦囊妙计正多边形常见的两种辅助线的作法(1)添加正多边形的半径和中心到一边的垂线段,通过构造直角三角形解题；(2)添加辅助圆,利用正多边形和圆的关系解题.题型五借助外接圆解答正多边形问题例题5如图24-3-10,正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证：(1)AC∥ED；(2)ME=AE．分析证明(1)如图24-3-10,作正五边形ABCDE的外接圆⊙O,则弧ED的度数=弧DC的度数=×360°=72°．∵∠EAC的度数等于弧EDC的度数的一半,∴∠EAC=×72°×2=72°．∵∠AED==108°,∴∠EAC+∠AED=180°,∴AC∥ED.(2)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠EAB=∠AED=108°,AE=AB,∴∠AEB=∠ABE=36°.由(1)知∠EAC=72°,∴∠EMA=180°－∠AEB－∠EAC=72°,∴∠EAM=∠EMA,∴ME=AE．锦囊妙计特殊的辅助线——圆辅助圆是特殊的辅助线,当有共圆条件时,可作出辅助圆,利用圆的性质解决问题.题型六正多边形的实际应用例题6如图24-3-11,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是_________cm．𝟐𝟑分析如图24-3-12,过正六边形的中心O作一边的垂线,垂足为B,连接OA,则∠O=30°,OA=2,AB=1,∴OB=(cm),∴a=2OB=cm．𝟐𝟑锦囊妙计与正多边形有关的实际问题的解法解决与正多边形有关的实际问题,关键是从实际问题中抽象出数学模型,并画出相应的正多边形,将所要解决的实际问题转化为正多边形中的计算问题.谢谢观看！