八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 第2课时 矩形的判定

第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第2课时矩形的判定学目习标1．能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．2．培养综合应用知识分析解决问题的能力．预反习馈阅读教材P54～55，完成下列问题：1．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝，∴四边形ABCD是矩形．2．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝，∴四边形ABCD是矩形．3．如图，∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝，∴四边形ABCD是矩形．90°BD90°名讲校坛例（教材P54例2）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数．【思路点拨】先证明▱ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.又∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°.又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°.【方法归纳】判定矩形的基本思路：①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．1212名讲校坛【跟踪训练1】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．（2）四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．名讲校坛【跟踪训练2】（《名校课堂》18.2.1第2课时习题）如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理可得，∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．1212巩训固练1．在▱ABCD中，增加一个条件四边形ABCD就成为矩形，这个条件是（B）A．AB＝CDB．∠A＋∠C＝180°C．BD＝2ABD．AC⊥BD2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（D）A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是．12巩训固练4．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB.求证：▱ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠D＋∠C＝180°.∵E是DC边的中点，∴DE＝EC.在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE（SSS）．∴∠D＝∠C.∵∠D＋∠C＝180°，∴∠D＝∠C＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．DECEADBCAEBE，，，巩训固练5．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.（1）求证：AD＝CN；（2）若∠BAN＝90°，求证：四边形ADCN是矩形．证明：（1）∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM.在△AMD和△CMN中，∴△AMD≌△CMN（ASA）．∴AD＝CN.（2）∵AD∥CN，AD＝CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN＝90°，即∠DAN＝90°，∴四边形ADCN是矩形．DECEADBCAEBE，，，课小堂结矩形的判定方法：1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．对角线相等的平行四边形是矩形．3．有三个角是直角的四边形是平行四边形．