八年级数学下册 第19章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 19.2.2.1 一

初中数学（人教版）八年级下册第十九章一次函数知识点一一次函数的定义定义一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.特别地,当b=0时,y=kx+b即y=kx知识详解(1)一次函数解析式y=kx+b(k≠0)的条件k≠0千万不能忽视.(2)正比例函数是特殊的一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.(3)一般情况下,一次函数的自变量的取值范围是全体实数,在实际问题中,受实际情况限制可能取不到全体实数例1下列函数:①y=x;②y= ;③y= ;④y=2x+1,其中一次函数的个数是 ()A.1B.2C.3D.44x4x解析①y=x是一次函数;②y= 是一次函数;③y= 的自变量次数不为1,故不是一次函数;④y=2x+1是一次函数.4x4x答案C方法归纳判断函数是不是一次函数的方法:先看解析式是不是整式的形式,再将解析式进行恒等变形,看它是否符合一次函数解析式y=kx+b的结构特征:(1)k≠0;(2)自变量x的次数是1;(3)常数项b可以为任意实数.知识点二一次函数的图象和性质k的正负b的情况图示经过的象限性质k0b=0 第一、三象限一定经过第一、三象限图象左低右高,y随x的增大而增大b0 第一、二、三象限b0 第一、三、四象限k0b=0 第二、四象限一定经过第二、四象限图象左高右低,y随x的增大而减小b0 第一、二、四象限b0 第二、三、四象限从上表可以看出k,b对函数图象的影响,我们也得到判断k,b符号的方法.1.判断k正负的方法(1)从图象倾斜方向上看:左低右高形如“/”,k0;左高右低形如“\”,k0.(2)从图象经过的象限看:图象如果过第一、三象限,那么k0;图象如果过第二、四象限,那么k0.(3)从增减性上看:若随着x的增大y也增大,则k0;若随着x的增大y反而减小,则k0.2.判断b的符号的方法b是直线与y轴交点的纵坐标,所以通过直线与y轴交点的位置判断b的符号: 0;0;0.bybyxbyx直线与轴交于原点直线与轴的交点在轴上方直线与轴的交点在轴下方例2(2018北京东城二模)在平面直角坐标系xOy中,函数y=3x+1的图象经过 ()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限解析函数y=3x+1中,k=30,图象从左往右上升,且b=10,图象与y轴交于正半轴.所以该函数的图象经过第一、二、三象限,故选A.答案A例3下列函数图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图象的是 () 解析一次函数y=mx-(m-3)中,x的系数m决定着直线从左至右呈上升或下降的趋势,-(m-3)即3-m决定着直线与y轴的交点是在正半轴、负半轴还是原点,这两个方面不得有矛盾之处,应该结合一次函数的图象进行分析.选项A中,函数图象经过第一、二、三象限,则 ∴ 即0m3;选项B中,函数图象经过第一、三象限和原点,则 ∴m=3;选项C中,函数图象经过第二、三、四象限,则 ∴ 0,30,mm0,3,mm0,30,mm0,30,mm0,3,mm此不等式组无解,故此函数图象不符合题中解析式;选项D中,函数图象经过第一、二、四象限,则 ∴ ∴m0.故选C.0,30,mm0,3,mm答案C方法归纳运用数形结合的思想,根据一次函数解析式中的k,b的符号对图象的影响进行分析,二者存在矛盾的图象便是不符合题中解析式的.题型一一次函数定义的运用例1已知函数y=(k-2) +b+1是一次函数,求k和b的取值范围.23kx分析若两个变量x和y的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数,所以满足函数y=(k-2) +b+1是一次函数的条件是k2-3=1,且k-2≠0.23kx解析根据题意,得k2-3=1,且k-2≠0,解得k=-2,∴k=-2,b是任意实数.点拨根据一次函数求待定字母的值时,要注意:(1)函数的解析式是自变量的一次式,若含有一次以上的项,则其系数必为0;(2)注意隐含条件:自变量(一次项)的系数不为0.例2已知直线y=(1-3k)x+2k-1.(1)k为何值时,直线经过原点?(2)k为何值时,直线与y轴的交点的纵坐标是-2?(3)k为何值时,直线与x轴交于点 ?(4)k为何值时,直线经过第二、三、四象限?(5)k为何值时,已知直线与直线y=-3x-5平行?3,04题型二一次函数的图象与性质的应用分析(1)正比例函数的图象经过原点(或当b=0时,直线经过坐标原点);(2)直线y=kx+b与y轴的交点的纵坐标是b;(3)直线y=kx+b与x轴交于点 ,说明点 在已知直线上;(4)当k0,b0时,直线y=kx+b经过第二、三、四象限;(5)如果直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行,那么k1=k2,b1≠b2,反过来也成立.3,043,04解析(1)由题意可知,当2k-1=0且1-3k≠0,即k= 时,直线经过原点.(2)当x=0时,y=-2,即2k-1=-2,解得k=- .故当k=- 时,直线与y轴的交点的纵坐标是-2.(3)当x= 时,y=0,即 (1-3k)+2k-1=0,解得k=-1.故当k=-1时,直线与x轴交于点 .(4)当 即 k 时,直线经过第二、三、四象限.(5)当1-3k=-3,2k-1≠-5,即k= 时,已知直线与直线y=-3x-5平行.12121234343,04130,210,kk131243方法归纳对于一次函数y=kx+b,(1)判断k值符号的方法:①增减性法,当y随x增大而增大时,k0;反之,k0.②直线升降法,当直线从左到右上升时,k0;反之,k0.③经过象限法,直线过第一、三象限时,k0;直线过第二、四象限时,k0.(2)判断b值符号的方法:与y轴交点法,即直线y=kx+b若与y轴交于正半轴,则b0;若与y轴交于负半轴,则b0;若与y轴交于原点,则b=0.易错点一漏掉y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中k≠0这一条件例1已知y=(m-2) +1,当m为何值时,y是x的一次函数?23mx正解由题意得 解得 ∴m=-2.∴当m=-2时,y是x的一次函数.231,20,mm2,2.mm错解由题意得,m2-3=1,解得m=±2.易错点二忽视正比例函数是一次函数的特例例2已知一次函数y=2x+m的图象不经过第二象限,求m的取值范围.正解∵k=20,∴图象必过第一、三象限.当m0时,图象过第一、三、四象限;当m=0时,图象过原点及第一、三象限.∴m≤0.错解∵k=20,∴图象必过第一、三象限.当m0时,图象过第一、二、三象限;当m0时,图象过第一、三、四象限.所以m0.错解辨析本题易漏掉m=0这种情况.当m=0时,函数是正比例函数,正比例函数是一种特殊的一次函数.1.下列函数关系式:①y=-x;②y=2x+11;③y=x2+x+1;④y= ,其中一次函数的个数是 ()A.1B.2C.3D.41x知识点一一次函数的定义答案B①y=-x是一次函数;②y=2x+11是一次函数;③④不符合一次函数的定义,故不是一次函数.故选B.2.函数y=(m-2)x+(m+1)是关于x的一次函数,那么m的取值范围是 ()A.m≠2B.m≠-1C.m=-1D.m≠2且m≠-1答案A根据一次函数的定义知,一次项系数不等于0,即m-2≠0,解得m≠2.知识点二一次函数的图象和性质3.(2016湖南湘西中考)一次函数y=-2x+3的图象不经过 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C∵k=-20,∴一次函数y=-2x+3的图象必过第二、四象限,∵b=3,∴函数图象交y轴于正半轴,∴函数图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.4.(2017甘肃酒泉中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图19-2-2-1-1所示,观察图象可得() 图19-2-2-1-1A.k0,b0B.k0,b0C.k0,b0D.k0,b0答案A由图象可知,直线从左往右呈上升趋势,故k0,图象与y轴的交点在y轴正半轴上,故b0.5.(2017湖南邵阳一模)一次函数y=kx+2(k为常数,且k≠0)的图象如图19-2-2-1-2所示,则k的可能值为.(写出一个即可) 图19-2-2-1-2答案-2(答案不唯一)解析观察图象可知,OBOA,k0.当x=0时,y=kx+2=2,∴OA=2,令OB=1,则点B(1,0),将(1,0)代入y=kx+2,得0=k+2,解得k=-2.1.(2016湖北荆州中考)若点M(k-1,k+1)关于y轴的对称点在第四象限内,则一次函数y=(k-1)x+k的图象不经过第象限.答案一解析根据题意得点M在第三象限,∴k-10,且k+10,解得k-1.在一次函数y=(k-1)x+k中,∵k-1,∴k-1-2,∴函数图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.2.如果点P1(3,y1)、P2(2,y2)在一次函数y=2x-1的图象上,则y1y2(填“”“”或“=”).答案解析∵一次函数关系式为y=2x-1,k=20,∴y随x的增大而增大,又∵32,∴y1y2.3.已知函数y=(8-2m)x+m-2.(1)若函数图象经过原点,求m的值;(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围;(3)若这个函数是一次函数,且图象经过第一、二、三象限,求m的取值范围.解析(1)由题意得m-2=0,解得m=2.(2)由题意得8-2m0,解得m4.(3)由题意得8-2m0且m-20,解得m4且m2,∴m的取值范围是2m4.1.(2018山东肥城期末)已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而减小,则下列结论正确的是 ()A.k2,m0B.k2,m0C.k2,m0D.k2,m0答案A整理得y=(k-2)x-m,因为函数图象与y轴负半轴相交,所以-m0,即m0,又函数值y随x的增大而减小,所以k-20,即k2.故选A.2.(2018广东深圳中考)把函数y=x向上平移3个单位长度,下列点在该平移后的直线上的是 ()A.(2,2)B.(2,3)C.(2,4)D.(2,5)答案D一次函数的平移规律是“左加右减,上加下减”,故把函数y=x向上平移3个单位长度后的函数关系式为y=x+3,当x=2时,y=2+3=5,故选D.3.(2018浙江绍兴中考)如图19-2-2-1-3,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中点A(-1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),则此函数 () 图19-2-2-1-3A.当x1时,y随x的增大而增大B.当x1时,y随x的增大而减小C.当x1时,y随x的增大而增大D.当x1时,y随x的增大而减小答案A由函数图象可知,当x1时,y随x的增大而增大,因此A正确,B错误;当1x2时,y随x的增大而减小,当x2时,y随x的增大而增大,因此C、D错误,故选A.1.一次函数y=ax+b与y=ax+c(a0,b≠c)在同一坐标系中的图象可能是 () 答案A因为一次函数y=ax+b与y=ax+c(a0,b≠c)的一次项系数相同,所以两条直线平行,B、C不符合题意;又因为a0,所以直线从左到右是上升的,D不符合题意,故选A.2.已知函数y=(k+1)x+k2-1.若它是一次函数,则k;若它是正比例函数,则k.答案≠-1;=1解析若它是一次函数,则k+1≠0,即k≠-1,若它是正比例函数,则k+1≠0且k2-1=0,即k=1.一、选择题1.(2017河南洛阳洛宁期中,4,★☆☆)下列函数关系式:①y=-2x+1;②y=x;③y=2x2+1;④y= ,其中一次函数有 ()A.