八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.3 正方形教学课件 （新版

教学课件数学八年级下册沪科版第19章四边形19.3矩形、菱形、正方形19.3.3正方形第1课时基础自主学习►学习目标1能根据正方形的定义或性质进行简单的计算1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直B3.正方形2．如图19－3－13，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有()A．4个B．6个C．8个D．10个C3.正方形3．已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD的周长为________．43.正方形[归纳](1)定义：有一个角是_________，且有一组邻边_________的平行四边形叫做正方形．(2)性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质．性质1：正方形的四条边都_________，四个角都是________；性质2：正方形的对角线________________________．直角相等相等直角相等且互相垂直平分3.正方形►学习目标2能根据正方形的定义或判定方法来判定四边形是不是正方形4．下列命题，正确的是()A．四条边都相等的四边形是正方形B．四个角都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形D3.正方形5．如图19－3－14，在Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，AE是△ABC的外角平分线，CE⊥AE于点E，试判断四边形ADCE是什么特殊四边形，并证明你的结论．3.正方形解：四边形ADCE是正方形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝12∠BAC＝45°.∵∠BAC＝90°，AE是△ABC的外角平分线，∴∠EAC＝45°.∴∠EAD＝45°＋45°＝90°.∵AD⊥BC，CE⊥AE，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．∵∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝DC，∴四边形ADCE是正方形．3.正方形[归纳]证明一个四边形是正方形，主要是根据定义．也可以先证明四边形是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其基本思路：四边形→平行四边形→矩形(菱形)→菱形(矩形)．重难互动探究3.正方形探究问题一利用正方形的性质进行计算例1如图19－3－15，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋3.其中正确结论的序号是__________(把你认为正确的都填上)．①②④3.正方形[解析]∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE＝DF.∵BC＝DC，∴BC－BE＝CD－DF，∴CE＝CF，∴①说法正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°.3.正方形又∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；如图19－3－89，连接AC，交EF于点G，∴AC⊥EF，且AC平分EF.∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE＋DF≠EF，∴③说法错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝2，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2＋(a－2)2＝4，解得a＝2＋62，则a2＝2＋3，S正方形ABCD＝2＋3，∴④说法正确．故答案为①②④.3.正方形[归纳总结]1.正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．2．正方形的周长等于边长的4倍，面积等于边长的平方或对角线平方的一半．3．在解答有关正方形的问题时，应充分利用正方形的边长相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等的性质，还应记住：正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决有关正方形问题的三把钥匙．探究问题二利用正方形的性质进行证明3.正方形例2如图19－3－16所示，以锐角三角形ABC的边AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EC，BG.求证：(1)BG＝CE；(2)BG⊥CE.3.正方形[解析]设CE交AB于P，交BG于Q.欲证BG＝CE，可证△AEC≌△ABG(SAS)，则∠AEC＝∠ABG.而∠AEC＋∠APE＝90°，可得∠ABG＋∠BPQ＝90°，故∠BQP＝90°，即BG⊥CE.3.正方形证明：设CE交AB于P，交BG于Q.(1)∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAG.∴△EAC≌△BAG(SAS)，∴BG＝CE.(2)由(1)可知△EAC≌△BAG，则∠AEC＝∠ABG.又∵∠AEC＋∠APE＝90°，∴∠ABG＋∠BPQ＝90°，∴∠BQP＝90°，即BG⊥CE.3.正方形[归纳总结]通过证明三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证明边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明全等三角形提供了条件．探究问题三灵活证明四边形是不是正方形3.正方形例3如图19－3－17所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF分别交AB，AD，AC于点E，O，F.求证：四边形AEDF是正方形．[解析]本例可先证四边形AEDF为矩形，再证它是菱形，或先证它是菱形，再证它是矩形．3.正方形证明：证法一：∵EF垂直平分AD，∴AE＝ED，AF＝DF，∴∠EAD＝∠ADE，∠FAD＝∠ADF.又∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠ADE＝∠EAD＝∠FAD＝∠ADF＝45°，∴∠EDF＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，∴四边形AEDF为矩形．又∵AE＝ED，∴矩形AEDF为正方形．3.正方形证法二：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF.又∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(ASA)，∴AE＝AF.∵EF垂直平分AD，∴AE＝ED，AF＝DF，∴AE＝ED＝DF＝AF，∴四边形AEDF为菱形．又∵∠BAC＝90°，∴菱形AEDF为正方形．3.正方形[归纳总结]1.正方形的判定方法有：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；(6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．2．应用正方形的判定方法判定正方形时，一定要先分清是在什么图形的基础上来判定的，即已知图形是四边形、平行四边形、矩形、菱形中的哪一种，再选择相应的方法判定．课堂小结3.正方形第19章四边形19.3矩形、菱形、正方形19.3.3正方形第2课时操作⒈怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？⒉怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？矩形菱形正方形平行四边形矩形菱形正方形讨论㈠正方形的边、角、对角线各具有什么性质？边：对边平行，四条边都相等．角：四个角都相等，都等于90°．对角线：相等、垂直且互相平分．讨论㈡具备什么条件的平行四边形是正方形？⒈先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等．⒉先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．例题赏析⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．GFEDABC一展身手1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC2.在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．⑴求证：DQ=CP；PODABCQ⑵OP与OQ有何关系？试证明你的结论．3.如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．求证：⑴CE=BG；⑵EG=2AM．HMEDFGBCA4.求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．GFEHDBCA教学反思▲正方形有哪些性质？如何判别一个平行四边形是正方形？★从角上来谈；●从边上来谈；▲从对角线上来谈.