八年级数学上册 第11章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线与角平

第十一章三角形11.1.1三角形的高、中线与角平分线了解三角形的重心的概念.学习目标123掌握三角形的高、中线及角平分线的概念.（重点）掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.（难点）新课导入复习引入定义图示垂线线段中点角平分线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点AB一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线OBA知识讲解★三角形的高定义ABC从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.012345012345D注意:标明垂直的记号和垂足的字母.如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.垂足问题：(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.如图所示；锐角三角形的三条高FEABOCD直角三角形的三条高问题：画出直角三角形的三条高,直角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?ABC直角三角形的三条高交于直角顶点.直角边BC边上的高是;直角边AB边上的高是;AC边上的高是;ABBCBD钝角三角形的三条高问题：画出钝角三角形的三条高,钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?ABDFOEC钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点要点归纳例1作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．D★三角形的中线连接三角形的一个顶点和它所对的中点的线段叫做三角形的中线.如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的中线.定义中线中点想一想：由三角形的中线能得到什么结论？𝐵𝐷=𝐶𝐷=12𝐵𝐶(𝐵𝐶=2𝐵𝐷=2𝐷𝐶或𝐷为𝐵𝐶的中点）问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCOOO拓展：如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？BCDEA相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.例2在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.7cm解析：因为△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ADC的周长＝AC+DC+AD，所以△ABD的周长-△ADC的周长＝（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）＝AB-AC=2cm.又因为AC＝5cm，所以AB＝7cm.★三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，或∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐶𝐴𝐷＝12∠𝐵𝐴𝐶且点𝐷在边𝐵𝐶上.12ACD∠1=∠2B想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?定义不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ABCDEF发现：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心.问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？解：因为𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐸＝21°，所以∠𝐴𝐵𝐶＝2×21°＝42°.因为∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐶𝐴＝180°，∠𝐴＝50°，所以∠𝐵𝐶𝐴＝180°-50°-42°＝88°.因为𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐴，所以∠𝐵𝐶𝑃＝12∠𝐵𝐶𝐴＝44°.例3在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴＝50°，𝐵𝐸，𝐶𝐹分别是∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线，相交于点𝑃.∠𝐴𝐵𝑃＝21°，求∠𝐵𝐶𝑃的度数.随堂训练1.如图,在△ABC中,∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.ABCDE12FGH（1）AD是△ABE的角平分线()（2）BE是△ABD边AD上的中线()（3）BE是△ABC边AC上的中线()××√B452.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐶𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷的中线，△𝐴𝐵𝐶的面积是4cm2，那么△𝐵𝐸𝐶的面积是（）A.2.5cm2B.2cm2C.1.5cm2D.1cm23.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶＝5，𝐵𝐶＝6，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，且𝐴𝐷＝4.若点𝑃在边𝐴𝐶上移动，则𝐵𝑃长的最小值是.解：设AB＝AC＝2x，则AD＝CD＝x.（1）当AB+AD＝12，BC+CD＝6时，有2x+x＝12，所以x＝4，2x＝8.所以AB＝AC＝8，BC＝6-4＝2.（2）当BC+CD＝12，AB+AD＝6时，有2x+x＝6，解得x＝2，所以2x＝4.所以AB＝AC＝4，BC＝12-2＝10.因为4+410，所以此时不能构成三角形.综上所述，等腰三角形ABC的腰长为8，底边长为2.4.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长.5.如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.𝐴𝐵𝐶𝐸解：∵ＡE是△ABC的角平分线，∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.12课堂小结三角形重要线段高锐角三角形的三条高交于在三角形的内部一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点中线三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心