2021高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.3 平面向量的数量积课件 理 新人教A版

§5.3平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.最新考纲主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.向量的夹角知识梳理已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是_______.∠AOB[0，π]2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量__________叫做a与b的数量积，记作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_______的乘积|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝________.a·c＋b·c结论符号表示坐标表示模|a|＝_____|a|＝__________夹角cosθ＝______cosθ＝a⊥b的充要条件________________________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤______|x1x2＋y1y2|≤4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a·ax21＋y21a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22x21＋y21x22＋y22a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a||b|1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(3)(a·b)c＝a(b·c).()(4)若a·b0，则a和b的夹角为钝角.()基础自测√×××题组二教材改编2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝______.12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4.已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.－32解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.解析因为ABCD为矩形，建系如图.A(0,0)，M(6,3)，N(4,4).5.已知矩形ABCD中，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→等于A.20B.15C.9D.6√则AM→＝(6,3)，NM→＝(2，－1)，AM→·NM→＝6×2－3×1＝9.6.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析方法一|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b223＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.典题深度剖析重点多维探究题型突破平面向量数量积的基本运算题型一师生共研例1如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若AB→·AC→＝2AB→·AD→，则AD→·AC→＝_____.12解析方法一(几何法)因为AB→·AC→＝2AB→·AD→，所以AB→·AC→－AB→·AD→＝AB→·AD→，所以AB→·DC→＝AB→·AD→，因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|AB→|＝|AB→|·|AD→|cosπ4，化简得|AD→|＝22.故AD→·AC→＝AD→·(AD→＋DC→)＝|AD→|2＋AD→·DC→＝(22)2＋22×2cosπ4＝12.方法二(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.则由AB→·AC→＝2AB→·AD→，依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m0，n0，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故AD→·AC→＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则AB→·AD→＝________.152解析如图所示，AB→·AD→＝AB→·(AB→＋BD→)＝9＋3×cos120°＝152.(2)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足AQ→＝2QB→，则QC→·QD→等于A.－109B.109C.－139D.139解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，√则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，又AQ→＝2QB→，∴Q43，0，∴QC→＝－13，1，QD→＝－43，1，∴QC→·QD→＝49＋1＝139.故选D.命题点1求向量的模例2(1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为A.34B.32C.1D.32平面向量数量积的应用题型二多维探究√因为a和b是单位向量，且夹角为120°，所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝k2－k＋1＝k－122＋34≥34，所以|ka＋b|≥32，所以|ka＋b|的最小值为32.解析|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB→与AC→的夹角为60°，则|MA→|＝________.132解析∵M为BC的中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，∴|MA→|2＝14(AB→＋AC→)2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14(1＋9＋2×1×3cos60°)＝134，∴|MA→|＝132.命题点2求向量的夹角例3(1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝12，32，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为A.30°B.45°C.60°D.90°√解析|a|＝122＋322＝1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12，∴a与b的夹角为60°.解析由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.33|3e1－e2|＝3e1－e22＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos60°＝3e1－e2·e1＋λe2|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋3λ－1e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.(1)求解平面向量模的方法思维升华SIWEISHENGHUA①利用公式|a|＝x2＋y2.②利用|a|＝a2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π].②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.跟踪训练2(1)(2019·江西省临川一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为______.π4解析因为a⊥b，故a·b＝0，所以－3＋4k＝0，故k＝，故a＋4b＝(－1,7)，设a＋4b与a的夹角为θ，则cosθ＝－3＋2850×25＝2552×5＝22，因θ∈[0，π]，故θ＝π4.34则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，(2)(2019·日照模拟)已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝22，〈a，b〉＝π4，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________.2＋1解析设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，∵|a|＝4，|b|＝22，a与b的夹角为π4，因为圆心到A的距离为2，所以|c－a|的最大值为2＋1.例4(2019·石家庄模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；平面向量与三角函数、解三角形题型三师生共研3f(x)＝sin2x＋π6＋12，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.解f(x)＝3sinxcosx＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12，f(x)＝sin2x＋π6＋12，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccosA.所以a2＝b2＋c2－bc＝7，又sinB＝3sinC，所以b＝3c.故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.(2)在△ABC中，BC＝7，sinB＝3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周长.解由题意可得sin2A＋π6＝12，又0Aπ，所以π62A＋π613π6，所以2A＋π6＝5π6，故A＝π3.所以b＝3，△ABC的周长为4＋7.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练3在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝cosB，2cos2C2－1，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；解因为m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccosB＋(b