2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 简单的三角恒等变换课件 理 新人教A版

§4.3简单的三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而推导出二倍角公式.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).最新考纲考查三角函数化简与求值，或与三角函数图象、性质相结合，考查应用意识.各种题型均有，中低档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识梳理(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β)).(2)cos(α＋β)＝(C(α＋β)).(3)sin(α－β)＝(S(α－β)).(4)sin(α＋β)＝(S(α＋β)).(5)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β)).(6)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β)).cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ2.二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝.②cos2α＝＝＝.③tan2α＝.(2)公式变形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；升幂公式：cos2α＝＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1＋cos2α21－cos2α22cos2α－11－2sin2α1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？概念方法微思考2.怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数的性质？提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质.提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形.a2＋b2(1)sinα2＝.3.思考求α2的正弦、余弦、正切公式.(2)cosα2＝.(3)tanα2＝＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(2)设α∈(π，2π)，则()(4)在非直角三角形中有tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanBtanC.()基础自测题组一思考辨析√1－cosπ＋α2＝sinα2.(3)设5π2θ3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值为155.()××√题组二教材改编2.若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4等于A.－210B.210C.－7210D.7210解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.√3.sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.22解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，34.tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝.＝3－3tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.解析(tan10°－3)·sin40°5.(tan10°－3)sin40°的值为.＝sin10°－3cos10°cos10°·sin40°＝2sin10°－60°cos10°·sin40°－1＝－2sin50°cos10°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.题组三易错自纠6.(2019·衡水中学调研)已知α∈－π2，0，sinα＝－45，则tanα＋π4等于A.－7B.－17C.17D.7√解析∵α∈－π2，0，sinα＝－45，∴cosα＝35，∴tanα＝－43.∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝1－431＋43＝－17.7.化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝.解析2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα121＋cosα＝4sinα1＋cosα1＋cosα＝4sinα.4sinα8.已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝.－247解析方法一sinθ－π4＝210，得sinθ－cosθ＝15，平方得2sinθcosθ＝2425，又θ∈0，π2，可求得sinθ＋cosθ＝75，∴sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.方法二∵θ∈0，π2且sinθ－π4＝210，∴cosθ－π4＝7210，∴tanθ－π4＝17＝tanθ－11＋tanθ，∴tanθ＝43.故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.典题深度剖析重点多维探究题型突破课时精练课时精练第1课时和角、差角和倍角公式第2课时简单的三角恒等变换和角、差角和倍角公式第1课时和差倍角公式的简单应用题型一自主演练1.若cosπ4－α＝35，则sin2α等于A.725B.15C.－15D.－725解析因为sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1，且cosπ4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D.√2.已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为A.－211B.211C.112D.－112解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.√3.计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为.12解析sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.4.(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为.解析∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx又函数f(t)图象的对称轴t＝－34∈[－1,1]，且开口向下，－4＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.思维升华SIWEISHENGHUA公式的灵活应用题型二多维探究命题点1角的变换例1(1)已知sinα＋π4＝45，且π4α3π4，则cosα的值为.210解析∵sinα＋π4＝45，且π4α3π4，∴π2α＋π4π.∴cosα＋π4＝－1－sin2α＋π4＝－35.∴cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－35×22＋45×22＝210.解析∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13，(2)(2019·烟台模拟)若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝.79∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×19＝79.解析方法一cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2＝12(1－sin2α)＝16.命题点2三角函数式的变换例2(1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝.16方法二cosα＋π4＝22cosα－22sinα，所以cos2α＋π4＝12(cosα－sinα)2＝12(1－2sinαcosα)＝12(1－sin2α)＝16.解析原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°＝.32＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.解析原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.命题点3公式的综合应用例3(1)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为.2(2)若3sinx＋cosx＝23，则tanx＋7π6＝.±24解析由3sinx＋cosx＝23，得2sinx＋π6＝23，即sinx＋π6＝13，所以cosx＋π6＝±223，所以tanx＋π6＝±24，即tanx＋7π6＝tanx＋π6＝±24.(3)若3π2α2π，则12＋1212＋12cos2α可化简为.－cosα2解析12＋1212×2cos2α＝12＋12|cosα|，因为32πα2π，所以|cosα|＝cosα.所以原式＝12＋12cosα＝cos2α2.又因为34πα2π，所以原式＝－cosα2.(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.思维升华SIWEISHENGHUA(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等.解析由已知可得sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，跟踪训练(1)已知α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sinβ＝.32∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437