2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式课件

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合，强调恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题，中低档难度.考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.sinxcosxπ2INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.同角三角函数的基本关系知识梳理sin2α＋cos2α＝1(1)平方关系：.(2)商数关系：.sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦sinα___________________________余弦cosα____________________________正切tanα___________－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限π2－απ2＋α－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanαsinα－cosαcosαsinαcosα－sinα1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？概念方法微思考提示根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.π21.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝恒成立.()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.()基础自测题组一思考辨析××××sinαcosα1313题组二教材改编－122.若sinα＝55，π2απ，则tanα＝.解析∵π2απ，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.3.已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为.解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.34.化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为.－sin2α解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.题组三易错自纠5.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为.－23解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，∴sinθ－cosθ＝－23.6.若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝；cosα＋3π2＝.12解析由sin(π＋α)＝－12，得sinα＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝12，cosα＋3π2＝cosα＋3π2－2π＝cosα－π2＝cosπ2－α＝sinα＝12.12典题深度剖析重点多维探究题型突破同角三角函数基本关系式的应用题型一自主演练1.已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα等于A.－513B.513C.－125D.125解析因为α是第四象限角，sinα＝－1213，√所以cosα＝1－sin2α＝513，故tanα＝sinαcosα＝－125.解析由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，2.已知α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为.得109cos2α＝1，13－105将其代入sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝910，易知cosα0，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.解析由角α的终边落在第三象限，3.若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为.－3得sinα0，cosα0，4.已知sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，则tanθ＝.－125解析方法一由sinθ＋cosθ＝713，得sinθcosθ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sinθ0，cosθ0，所以sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1713，联立sinθ＋cosθ＝713，sinθ－cosθ＝1713，解得sinθ＝1213，cosθ＝－513，所以tanθ＝－125.方法二因为sinθ＋cosθ＝713，所以sinθcosθ＝－60169，由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.又sinθcosθ＝－601690，θ∈(0，π)，所以sinθ0，cosθ0.所以sinθ＝1213，cosθ＝－513.所以tanθ＝sinθcosθ＝－125.方法三由sinθ＋cosθ＝713，得sinθcosθ＝－60169，所以sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝－60169.齐次化切，得tanθtan2θ＋1＝－60169，解得tanθ＝－125或tanθ＝－512.又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝7130，sinθcosθ＝－601690，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，所以θ∈π2，3π4，所以tanθ＝－125.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.思维升华SIWEISHENGHUAsinαcosα诱导公式的应用题型二师生共研例1(1)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝.解析因为θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，－43所以θ＋π4为第一象限角，所以cosθ＋π4＝45，所以tanθ－π4＝sinθ－π4cosθ－π4＝－cosπ2＋θ－π4sinπ2＋θ－π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－43.(2)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2}解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.√(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α等于A.513B.1213C.－513D.－1213√解析因为sinα＋π3＝1213，所以cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinα＋π3＝1213.(2)(2019·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sin5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于A.3B.－3C.－33D.－1√解析由sin5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－12，∵角α是第二象限角，∴sinα＝32，∴tan(π＋α)＝tanα＝sinαcosα＝－3.同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用题型三师生共研例2(1)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－22，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ等于A.－26B.26C.－23D.23√解析由tan2θ＝－22可得tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，即2tan2θ－tanθ－2＝0，解得tanθ＝2或tanθ＝－22.又角θ的终边在第三象限，故tanθ＝2，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝23.(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.求sin2x＋2sin2x1－tanx的值.解由已知，得sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，又sinxcosx＝－12250，由－πx0知，sinx0，∴cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.解若0xπ，又2sinxcosx＝－2425，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝75.∴sinx0，cosx0，引申探究本例(2)中若将条件“－πx0”改为“0xπ”，求sinx－cosx的值.(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)已知sinα＝255，则tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝.52或－52解析因为sinα＝2550，所以α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα.①当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝55，原式＝1sinαcosα＝52.②当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sinαcosα＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.(2)若tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α的值为A.m＋1m－1B.m－1m＋1C.－1D.1√解析∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝m＋1m－1.课时精练基础保分练123456789101112131415161.若sinα＝－513，且α为第三象限角，则tanα的值等于A.125B.－125C.512D.－512√解析因为sinα＝－513，且α为第三象限角，