2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.最新考纲考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，常与向量、三角恒等变换相结合.考查中渗透分类讨论思想和数形结合思想，题型以选择题为主，低档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为、和.(2)象限角：使角的顶点与重合，角的始边与重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝.知识梳理一条射线正角负角零角原点x轴的非负半轴{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}(1)定义：把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝rad,1°＝rad，1rad＝.(3)扇形的弧长公式：l＝，扇形的面积公式：S＝＝.其中r是半径，α(0α2π)为弧所对圆心角.2.弧度制半径正数负数ππ180180π°α·r012lr12α·r2任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0).3.任意角的三角函数yxyx三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinα___＋＋－－cosα___＋－－＋tanα___________________＋－＋－{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}RR4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过点A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1.总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律.概念方法微思考提示一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0).1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(3)不相等的角终边一定不相同.()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()基础自测题组一思考辨析×√×√2.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度.题组二教材改编π33.若角α的终边经过点Q－22，22，则sinα＝_____，cosα＝______.22－22题组三易错自纠4.集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是√解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.5.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－，则y＝_____.－331010解析因为sinθ＝－310100，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y＝－3.6.函数y＝的定义域为_______________________.2cosx－1∴cosx≥12.解析∵2cosx－1≥0，2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z).典题深度剖析重点多维探究题型突破角及其表示题型一自主演练1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，√但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.2.设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么解析由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝∅√而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.解析如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；3.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为___________________.3－53π，－23π，π3，43π在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.4.若角α是第二象限角，则是第________象限角.α2当k为奇数时，α2是第三象限角.综上，α2是第一或第三象限角.一或三解析∵α是第二象限角，当k为偶数时，α2是第一象限角；(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.思维升华SIWEISHENGHUA(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置.弧度制及其应用题型二师生共研例1一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.已知α＝π3，R＝10cm，求扇形的面积.∴S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2).解由已知得α＝，R＝10cm，π3解l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，＝12·l·R－12·R2·sinπ3S弓形＝S扇形－S三角形＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm2).引申探究1若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0R10).引申探究2若本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2019·杭州第二中学模拟)若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为A.3π2B.3π4C.3π8D.3π16√解析设扇形的圆心角为α，∵扇形的面积为3π8、半径为1，∴3π8＝12α·12，∴α＝3π4.解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝2π3，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3，(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为_____.3作OM⊥AB，垂足为M，∴AM＝32r，AB＝3r，设弧长为l，则l＝3r，∴所求圆心角α＝lr＝3rr＝3.三角函数的概念题型三多维探究命题点1三角函数定义的应用例2(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα等于A.－33B.±33C.－32D.±32√解析由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时，sinα·tanα＝－32.当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，此时，sinα·tanα＝－32.所以sinα·tanα＝－32.(2)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ20，综上可知，θ2为第二象限角.√解析要使原函数有意义，命题点2三角函数线例3(1)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为_________________________.2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)必须有2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12.如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z).解析如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，(2)若，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小关系是_________________.sinαcosαtanα－3π4α－π2观察可知sinαcosαtanα.(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.思维升华SIWEISHENGHUA所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，解得m＝±12，跟踪训练2(1)(2019·临沂月考)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为A.－12B.－32C.12D.32解析由题意得点P(－8m，－3)，r＝64m2＋9，又cosα＝－450，所以－8m0，即m0，所以m＝12.√(2)在(0,2π)内，使得sinxcosx成立的x的取值范围是A.π4，π2∪π，5π4B.π4，πC.π4，5π4D.π4，π∪5π4，3π2√解析当x∈π2，π时，sinx0，cosx≤0，显然sinxcosx成立；当x∈0，π4时，如图，当x∈π4，π2时，如图，OA为x的终边，此时sinx＝|MA|，cosx＝|OM|，sinx≤cosx；OB为x的终边，此时sinx＝|NB|，cosx＝|ON|，sinxcosx.同理当x∈π，5π4时，sinxcosx；当x∈5π4，2π时，sinx≤cosx，故选C.课时精练基础保分练1.给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D.4√123456789101112131415163π44π312345678910111213141516解析①中－3π4是第三象限角，故①错.②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确.③中－400°＝－360°－40°，从而③正确.④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确.2.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为解析由图知，A