2021高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性课件 理 新人教A版

§3.2导数与函数的单调性了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).最新考纲考查函数的单调性，利用函数的单调性求参数范围；强化分类讨论思想；题型以解答题为主，一般难度较大.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实知识梳理函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)0f(x)在(a，b)内_________f′(x)0f(x)在(a，b)内__________f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是_________单调递增单调递减常数函数概念方法微思考“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增.()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数.()基础自测题组一思考辨析×√√题组二教材改编2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(－2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.在区间(3,5)上f(x)是增函数√解析在(4,5)上f′(x)0恒成立，∴f(x)是增函数.3.函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是A.先增后减B.先减后增C.增函数D.减函数√解析因为在(0，π)上恒有f′(x)＝－sinx－10.所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.4.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是_________，单调递减区间是_________.(0，＋∞)(－∞，0)解析由f′(x)＝ex－10，解得x0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f′(x)0，解得x0，故其单调递减区间为(－∞，0).题组三易错自纠5.若y＝x＋(a0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是_____.解析由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.a2x(0,2]∴y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞).∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a0，∴0a≤2.6.已知函数f(x)＝x2(x－a).(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是____________________；解析由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－2a3.(－∞，3]∪92，＋∞令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a3，若f(x)在(2,3)上单调递减，则有2a3≥3，解得a≥92；若f(x)在(2,3)上单调递增，则有2a3≤2，解得a≤3，所以若f(x)在(2,3)上单调，实数a的取值范围是(－∞，3]∪92，＋∞.(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________.解析若f(x)在(2,3)上不单调，则有2a3≠0，22a33，3，92可得3a92.典题深度剖析重点多维探究题型突破不含参函数的单调性题型一自主演练1.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是A.(0,1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1,1)解析∵f′(x)＝2x－2x＝2x＋1x－1x(x0)，√∴当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数.2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是A.(－∞，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)√解析f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2，故选D.3.函数f(x)＝x＋的单调递增区间是_________；单调递减区间是_____.f′(x)＝1－11－x.令f′(x)＝0，得x＝0.21－x(－∞，0)(0,1)解析f(x)的定义域为{x|x≤1}，当0x1时，f′(x)0.当x0时，f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1).4.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是__________________.则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，－π，－π2和0，π2即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.思维升华SIWEISHENGHUA含参数的函数的单调性题型二师生共研例1已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.12解函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋1x＋1x＝ax－1x－1x.①当0a1时，1a1，∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)0；x∈1，1a时，f′(x)0，∴函数f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；②当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a1时，01a1，∴x∈0，1a和(1，＋∞)时，f′(x)0；x∈1a，1时，f′(x)0，∴函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.综上，当0a1时，函数f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a1时，函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？引申探究解a0时，讨论同上；当a≤0时，ax－10，∴x∈(0,1)时，f′(x)0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0a1时，函数f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a1时，函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a0.试讨论f(x)的单调性.2x解由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.①当Δ0即0a22时，对一切x0都有f′(x)0.设g(x)＝x2－ax＋2，关于x的二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0即a＝22时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x0都有f′(x)0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ0即a22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0x1x2.则当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗↘↗此时f(x)在0，a－a2－82，a＋a2－82，＋∞上单调递增，在a－a2－82，a＋a2－82上单调递减.综上，当0a≤22时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≥22时，f(x)在0，a－a2－82，a＋a2－82，＋∞上单调递增，在a－a2－82，a＋a2－82上单调递减.函数单调性的应用题型三多维探究命题点1比较大小或解不等式例2(1)已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则fπ5，f(1)，f－π3的大小关系为A.f－π3f(1)fπ5B.f(1)f－π3fπ5C.fπ5f(1)f－π3D.f－π3fπ5f(1)√解析因为f(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f－π3＝fπ3.又当x∈0，π2时，f′(x)＝sinx＋xcosx0，所以函数f(x)在0，π2上是增函数，所以fπ5f(1)fπ3，即f－π3f(1)fπ5，故选A.(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数.若2f(m－2020)(m－2020)f(2)，则实数m的取值范围为_____________.解析令h(x)＝fxx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xf′x－fxx2.(2020,2022)∵xf′(x)－f(x)0，∴h′(x)0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2020)(m－2020)f(2)，m－20200，∴fm－2020m－2020f22，即h(m－2020)h(2).∴m－20202且m－20200，解得2020m2022.∴实数m的取值范围为(2020,2022).命题点2根据函数单调性求参数例3已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.12解因为f(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立.设G(x)＝1x2－2x，x∈[1,4]，所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，又因为a≠0，所以a的取值范围是－716，0∪(0，＋∞).本例中，若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.引申探究1解因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则f′(x)0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a1x2－2x有解，又当