2021高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理 新人教A版

§3.1导数的概念及运算1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数),y＝x,y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义.最新考纲导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.考情考向分析1xxINDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实知识梳理1.导数的概念(1)一般地,函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx,我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数.简称导数，记作f′(x)或y′.f′(x0)或0|xxy2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝.f′(x0)3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝___f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝ax(a0)f′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝____f(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝_____0αxα－1cosx－sinxexaxlna1x1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝.(2)[f(x)·g(x)]′＝.(3)fxgx′＝(g(x)≠0).f′xgx－fxg′x[gx]2f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.yu′·ux′6.定积分的性质(1)ʃbakf(x)dx＝(k为常数)；(2)ʃba[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)ʃbaf(x)dx＝(其中acb).kʃbaf(x)dxʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dxʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx7.微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即ʃbaf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a).F(b)－F(a)概念方法微思考1.根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭.2.直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定.3.的值是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？ʃbaf(x)dx提示不是.函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分的值才等于由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.ʃbaf(x)dx1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx.()基础自测题组一思考辨析××××题组二教材改编2.若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.2e解析∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3.曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为____________.解析∵y′＝2x＋22，∴y′|x＝－1＝2.2x＋22x－y＋1＝0∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠4.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是√解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5.设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝_____.解析因为f′(x)＝－23－2x－2sin2x，－23所以f′(0)＝－23.6.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是__________.(－ln2,2)解析设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝＝－2，0ex－－所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2,2).7.＝____.π20π2sind4xx2解析由题意得π20π2sind4xx＝＝π20sincosdxxxπ20sincos|xx＝sinπ2－cosπ2－(sin0－cos0)＝2.典题深度剖析重点多维探究题型突破导数的运算题型一自主演练1.已知f(x)＝ln2x－12x＋1，则f′(x)＝________.44x2－1解析f′(x)＝ln2x－12x＋1′＝12x－12x＋12x－12x＋1′＝2x＋12x－1·2x－1′2x＋1－2x－12x＋1′2x＋12＝44x2－1.2.已知f(x)＝sinx21－2cos2x4，则f′(x)＝________.－12cosx解析因为f(x)＝sinx2－cosx2＝－12sinx，所以f′(x)＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.3.f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝______.解析f′(x)＝2019＋lnx＋x·1x＝2020＋lnx，1由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.4.(2020·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(2)＋lnx，则f′(2)等于A.92B.94C.174D.178√解析∵f(x)＝2x2－3xf′(2)＋lnx，∴f′(x)＝4x－3f′(2)＋1x，将x＝2代入，得f′(2)＝8－3f′(2)＋12，得f′(2)＝178.(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错.(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.思维升华SIWEISHENGHUA导数的几何意义题型二多维探究命题点1求切线方程例1(1)(2020·白山期末)已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为A.x－y＋1＝0B.x－y－1＝0C.x－3y＋1＝0D.x＋3y＋1＝0√解析∵f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，∴f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1，即f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1，则f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为____________.x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.∴由y0＝x0lnx0，y0＋1＝1＋lnx0x0，解得x0＝1，y0＝0.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2求参数的值(范围)例2(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝___.1解析由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，则13＋a＋b＝3，3×12＋a＝k，k＋1＝3，由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.(2)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是A.(－∞，－2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)√解析函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.所以f′(x)＝1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－1x.因为x0，所以2－1x2，所以a的取值范围是(－∞，2).命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是√解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝______.解析由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，0∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.命题点4两曲线的公切线例4若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.1－ln2解析设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1)).则切线方程分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，化简得y＝1x1x＋lnx1＋1，y＝1x2＋1x－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，依题意，1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝－x2x2＋1＋lnx2＋1，解得x1＝12，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).思维升华SIWEISHENGHUA(3)函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变化情况.y1＝fx1，y0－y1＝f′x1x0－x1(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可.跟踪训练1(1)设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.－1解析∵y′＝－1－cosxsin2x，∴＝－1.π2|xy由条件知1a＝－1，∴a＝－1.(2)已知f