2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版

§6.3等比数列及其前n项和1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.最新考纲主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.属于中低档题.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于_________(不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示，定义的表达式为＝(n∈N*，q为非零常数).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒.知识梳理an＋1an＝q2同一常数公比GG2＝ab2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝.na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1a1qn－13.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N*).(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝＝.a2k(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列.(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.4.在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外).qn－map·aq1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？概念方法微思考提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.2.任意两个实数都有等比中项吗？提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.3.“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件.因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.()基础自测题组一思考辨析××××(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()题组二教材改编2.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝___.12解析由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.解析由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.3.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为A.8B.9C.10D.11√解析∵1，a1，a2,4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，题组三易错自纠4.若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值为____.－12则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q20，∴b2＝2，∴a1－a2b2＝－a2－a1b2＝－12.解析设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝_____.∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.－116.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_____秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝210MB)解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n＝13.即病毒共复制了13次.∴所需时间为13×3＝39(秒).39典题深度剖析重点多维探究题型突破等比数列基本量的运算题型一自主演练1.(2020·晋城模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于A.5B.4C.3D.2√解析因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，所以a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.2.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于A.16B.8C.4D.2√解析设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.3.(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝13，a24＝a6，则S5＝______.1213解析设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a11－q51－q＝13×1－351－3＝1213.解设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).4.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.解若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论.思维升华SIWEISHENGHUA例1(2019·衡阳模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝12，2an＋1＝an＋12bn,2bn＋1＝12an＋bn.等比数列的判定与证明题型二师生共研(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；证明依题意，有2an＋1＝an＋12bn，2bn＋1＝12an＋bn，两式相加得，an＋1＋bn＋1＝34(an＋bn)，∴{an＋bn}为首项为32，公比为34的等比数列，两式相减得，an＋1－bn＋1＝14(an－bn)，又∵a1－b1＝12≠0，∴{an－bn}为首项为12，公比为14的等比数列.又∵a1＋b1＝32≠0，(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn103.证明由(1)可得，an＋bn＝3234n－1，①an－bn＝1214n－1，②①＋②得，an＝14n＋34n，∴Sn＝141－14n1－14＋341－3n4n1－34141－14＋341－34＝103.判定一个数列为等比数列的常见方法思维升华SIWEISHENGHUA(1)定义法：若an＋1an＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法：若a2n＋1＝anan＋2(n∈N*，an≠0)，则数列{an}是等比数列.解因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5，公比为5的等比数列.所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.跟踪训练1已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；则数列{bn}的前n项和解由(1)知，bn＝an3n＝3n＋5n3n＝1＋53n，Tn＝1＋531＋1＋532＋…＋1＋53n(2)记bn＝an3n，求数列{bn}的前n项和Tn.＝n＋531－53n1－53＝5n＋12·3n＋n－52.等比数列性质的应用题型三师生共研例2(1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{an}中，2a2019－＋2a2021＝0，数列{bn}是等比数列，且b2020＝a2020，则log2(b2019·b2021)的值为A.1B.2C.4D.8所以2a2019－a22020＋2a2021＝4a2020－a22020＝0，解析因为等差数列{an}中a2019＋a2021＝2a2020，a22020√因为数列{bn}是等比数列，所以b2019·b2021＝a22020＝16.因为数列{an}各项不为零，所以a2020＝4，所以log2(b2019·b2021)＝log216＝4.故选C.(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝____.解析根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S3＝10，或S3＝90(舍).10等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于A.8B.16C.32D.64又a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a25，所以a95＝1，即a5＝1，解析由已知a1a2…a9＝1，12√所以a1－124＝1，a1＝16.故选B.(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3S6＝89，则an＋1an－an－1＝______(n≥2，且n∈N*).则由题意可得，S3S6＝a11－q31－qa11－q61－q＝11＋q3＝89，解析很明显等比数列的公比q≠1，－12解得q＝12，则an＋1an－an－1＝an－1q2an－1q－an－1＝q2q－1＝1412－1＝－12.构造新数列拓展视野对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式.构造法1形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型(1)若c＝1，数列{an}为等差数列.(2)若d＝0，数列{an}为等比数列.(3)若c≠1且d≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，与题设an＋1＝can＋d比较系数得λ＝dc－1(c≠1)，所以