2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A版

§6.1数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.最新考纲以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.数列的有关概念知识梳理概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的__________数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式__________表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝叫做数列的前n项和一定顺序每一个数an＝f(n)a1＋a2＋…＋an2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用表示递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法(n，an)公式3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝，n＝1，，n≥2.S1Sn－Sn－14.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数_____无穷数列项数_____项与项间的大小关系递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an有限无限1.数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上.概念方法微思考1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列.()基础自测题组一思考辨析×√√×2.在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝____.题组二教材改编21解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.5n＋1题组三易错自纠4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是____________.(－3，＋∞)解析因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ0，即λ－(2n＋1).(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ－3.5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是______.解析an＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，30∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝_______________________.故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*.2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，a1＝2不满足上式.典题深度剖析重点多维探究题型突破由an与Sn的关系求通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝______.题型一师生共研4n－5解析a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)(2020·河南省天一大联考)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于A.27B.81C.93D.243√解析根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81.故选B.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝_____________.∴an＝2n－1n.2，n＝1，2n－1n，n≥2解析当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，n＝1，2n－1n，n≥2.本例(1)中，若Sn＝2n2－3n＋1，则an＝______________.0，n＝1，4n－5，n≥2引申探究思维升华SIWEISHENGHUA已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，一定要检验a1的情况.所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.跟踪训练1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝______________.4，n＝1，2×3n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，(2)(2019·咸阳模拟)已知正项数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝nn＋12(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为A.an＝nB.an＝n2C.an＝n2D.an＝n22√解析由题意得an＝nn＋12－nn－12＝n(n≥2)，又a1＝1，所以an＝n(n≥1)，an＝n2，故选B.∴Sn＝a11－qn1－q＝－1×1－2n1－2＝1－2n，(3)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝_____.－63解析∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴S6＝1－26＝－63.命题点1累加法例2设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝____________.由数列的递推关系求通项公式题型二多维探究n2＋n＋22解析由条件知an＋1－an＝n＋1，则当n≥2时，an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2(经检验，n=1时也符合).＝n2＋n＋22命题点2累乘法例3设数列{an}中，a1＝2，则an＝_____.解析∵an＋1＝nn＋1an，a1＝2，∴an≠0，an＋1＝nn＋1an，2n∴an＋1an＝nn＋1.∴当n≥2时，an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·n－3n－2·…·12·2＝2n.（经检验，n=1时也符合）.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解.思维升华SIWEISHENGHUA(2)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解.则bn＋1－bn＝2n－1，b1＝1，∴b8＝b8－b7＋b7－b6＋…＋b2－b1＋b1＝13＋11＋…＋1＋1＝50，跟踪训练2(1)(2019·榆林模拟)在数列{an}中，an＋1＋n＋1＝an＋n＋2n－1，a1＝0，则a8＝________.2492解析令bn＝an＋n，∴a8＋8＝50，∴a8＝2492.代入上式得n－1个等式累乘，(2)已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋2an，求通项公式an.解由已知得an＋1an＝nn＋2，分别令n＝1,2,3，…，(n－1)，即a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝13×24×35×46×…×n－2n×n－1n＋1，所以ana1＝2nn＋1，即n≥2时，an＝43nn＋1，又因为a1＝23也满足该式，所以an＝43nn＋1.数列的性质题型三多维探究命题点1数列的单调性例4已知数列{cn}，cn＝2n－72n，则当n＝_____时，cn最大.5解析cn＋1－cn＝2n－52n＋1－2n－72n＝9－2n2n＋1，当n≤4时，cn＋1cn，当n≥5时，cn＋1cn，因此c1c2c3c4c5c6c7…，∴n＝5时，cn取得最大值.命题点2数列的周期性例5(2019·兰州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2020的值为A.2B.1C.12D.14√解析因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝12，由a4＝1，a5＝12，得a6＝12，由a5＝12，a6＝12，得a7＝1，由a6＝12，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，所以a2020＝a4＝1，故选B.命题点3数列的最值例6已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为A.－3B.－5C.－6D.－9√则an＝n－3，Sn＝nn－52，nSn＝n2n－52.解析由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，设f(x)＝x2x－52，x0，f′(x)＝32x2－5x，x0，∴f(x)的极小值点为x＝103，∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，∴f(n)min＝－9.应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练3(1)(2019·浙江省嘉兴第一中学、湖州中学期中)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法错误的是A.Tn无最大值B.an有最大值C.T2020＝9D.a2020＝1所以a3＝3，a4＝1，a5＝13，a6＝13，a7＝1，a8＝3，…√解析因为a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，an有最大值3，a2020＝a4＝1，因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，T2020＝T4＝9，故选A.(2)(2019·宁夏石嘴山市第三中学模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且点(an，2an＋1)(n∈N*)在直线x－12y＋1＝0上.若对任意的n∈N*，1n＋a1＋1n＋a2＋1n＋a3＋…＋1n＋an≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为__________.－∞，12可得an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，可得an＝n，解析数列{an}满足a1＝1，且点(an，2an＋1)(n∈N*)在直线x－12y＋1＝0上，对任意的n∈N*，1n＋a1＋1n＋a2＋1n＋a3＋…＋1n＋an≥λ恒成立，即为λ≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12nmin，由f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，得f(