2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程课件 理 新人教A版

§9.1直线的方程1.掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.4.掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.最新考纲直线的倾斜角、斜率、直线方程是最基本的内容，高考中一般不单独命题，主要在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线l倾斜角的范围是.2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.知识梳理0°≤α180°tanαy2－y1x2－x13.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_______________不含直线x＝x0斜截式__________不含垂直于x轴的直线两点式(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式_________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________________平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝11.直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？概念方法微思考2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.提示倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k不存在；因为k＝tanαα≠π2.当α∈0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.()基础自测题组一思考辨析√×××2.若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为A.1B.4C.1或3D.1或4题组二教材改编√解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3.已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_______.解析由|k|＝|tanα|＝1知tanα＝±1，∴α＝π4或3π4.π4或3π4题组三易错自纠4.已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈－33－1，3－1，则直线AB的倾斜角α的取值范围是A.π6，π2B.π2，2π3C.π6，π2∪π2，2π3D.π6，2π3√解析①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，∴α∈π6，π2∪π2，2π3.综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是π6，2π3.5.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________.解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，3x－2y＝0或x＋y－5＝0则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.6.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________________________.解析如图所示，当直线l过点B时，k1＝3－00－1＝－3.(－∞，－3]∪[1，＋∞)3当直线l过点A时，k2＝1－02－1＝1，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).典题深度剖析重点多维探究题型突破直线的倾斜角与斜率题型一师生共研解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，例1(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3√因为α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3].又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.解析直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，A.k≥12B.k≤－2C.k≥12或k≤－2D.－2≤k≤12∵kPA＝3－11－2＝－2，kPB＝－1－1－2－2＝12，∴－2≤k≤12.(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是√又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB恒相交，则k的取值范围是____________________.解析直线l过定点P(0，0)，引申探究－∞，12∪[3，＋∞)∴kPA＝3，kPB＝12，∴k≥3或k≤12.(1)倾斜角α与斜率k的关系思维升华SIWEISHENGHUA①当α∈0，π2时，k∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k不存在.③当α∈π2，π时，k∈(－∞，0).(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率.②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tanα的单调性.跟踪训练1(1)若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为____.解析由题意知kAB＝kAC，即a－35－4＝5－36－4＝1，4解得a＝4.(2)若直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是_______.所以k＝tanα≥1.π4，π2解析直线l的斜率k＝1＋m23－2＝1＋m2≥1，又y＝tanα在0，π2上是增函数，因此π4≤απ2.求直线的方程题型二自主演练1.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0解析设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，√直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tanα＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M(2，0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.2.直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程为____________.解析由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα＝1010(α∈[0，π))，x±3y＋4＝0从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线的方程为y＝±13(x＋4)，即x±3y＋4＝0.3.过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14的直线方程为______________.解析设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.3x＋4y＋15＝0因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.又直线经过点A(－1，－3)，4.过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为___________________________.解析由题意可设直线方程为xa＋yb＝1.x＋y－3＝0则a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.或x＋2y－4＝0(1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.思维升华SIWEISHENGHUA直线方程的综合应用题型三师生共研例2已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A2k－1k，0，B(0，1－2k).∴2k－1k0，1－2k0⇒k0.于是S△AOB＝12·|OA|·|OB|＝12·2k－1k·(1－2k)∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，＝124－1k－4k≥124＋2－1k·－4k＝4.当且仅当－1k＝－4k，即k＝－12时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，方法二设所求直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，又∵2a＋1b≥22ab⇒12ab≥4，即x＋2y－4＝0.当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝12ab有最小值为4.此时，直线l的方程是x4＋y2＝1.则2a＋1b＝1.本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.引申探究解方法一由例2知A2k－1k，0，B(0，1－2k)(k0).∴|MA|·|MB|＝1k2＋1·4＋4k2＝21＋k2|k|＝2－k＋1－k≥4.方法二由例2知A(a，0)，B(0，b)，a0，b0，2a＋1b＝1.此时直线l的方程为x＋y－3＝0.∴|MA|·|MB|＝|MA→|·|MB→|＝－MA→·MB→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋ab≥4，当且仅当－k＝－1k，即k＝－1时取等号.当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.(1)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值.(2)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，四边形的面积最小.解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，课时精练基础保分练A.30°B.60°C.150°D.120°1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为√解析设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝3.∵0°≤α180°，∴α＝60°.123456789101112131415162.过点(－1，2)且倾斜角为150°的直线方程为A.3x－3y＋6＋3＝0B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0解析