2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.9 函数模型及其应用课件 理 新人

§2.9函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.最新考纲考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以选择、填空题为主，中档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实知识梳理1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)kx2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnaxy轴x轴概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤.提示解函数应用题的步骤1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)已知a0且a≠1，则不存在x0，使logax0.()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()基础自测题组一思考辨析××0xaxn0××题组二教材改编2.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______.则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，3解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，∴当x＝3时，y最大.3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件.解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，1218当x＝18时，L(x)有最大值.4.已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m0).若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是_________.12，＋∞解析由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m0)，又m·2t＋21－t≥22m，∴22m≥2，∴m≥12.题组三易错自纠5.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_________________.p＋1q＋1－1解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝1＋p1＋q－1.6.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到______只.200解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).当x＝8时，y＝100log39＝200.典题深度剖析重点多维探究题型突破用函数图象刻画变化过程题型一自主演练1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是√解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2.设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为√解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响.根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图.则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合A.y＝ax＋bB.y＝a＋bC.y＝a·bxD.y＝ax2＋bx＋cx√解析根据散点图可知，选择y＝a＋b最适合.x判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.思维升华SIWEISHENGHUA已知函数模型的实际问题题型二师生共研例(1)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是_______万元.解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－20001202500＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.则当Q＝300时，L(Q)取得最大值为2500万元.(2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：116t－a①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为___________________.y＝10t，0≤t≤0.1，116t－0.1，t0.1解析设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1).由y＝116t－a过点(0.1,1)，得1＝1160.1－a，解得a＝0.1，∴y＝116t－0.1(t0.1).②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过____小时后，学生才能回到教室.解析由116t－0.1≤0.25＝14，得t≥0.6.0.6故至少需经过0.6小时学生才能回到教室.求解所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元.4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是_____；②最低种植成本是____元/100kg.12080解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得a60－1202＋m＝116，a100－1202＋m＝84，解得a＝0.01，m＝80，所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.命题点1构造二次函数模型解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需30－52R×160×R%≥128，实际问题中的数学模型核心素养之数学建模例1某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是A.[4,8]B.[6,10]C.[4%,8%]D.[6%,10%]30－52R√整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8].命题点2构造指数函数、对数函数模型则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，例2一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；1422解设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，解得x＝1－.11012(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即，11021122m即m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？则n年后剩余面积为22a(1－x)n.引申探究解设从今年开始，以后砍了n年，令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，132011,22n≥即n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.命题点3构造“对勾函数”模型∴年平均利润yx＝12－x＋25x，例3(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_____.5解析根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立.∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外解析由题意可得BC＝18x－x2(2≤x6)，周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝_____米.93323∴y＝18x＋3x2≥218x×3x2＝63.当且仅当18x＝3x2(2≤x6)，即x＝23时等号成立.命题点4构造分段函数模型例4共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本.(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；