2021高考数学大一轮复习 高考大题增分专项三 高考中的数列课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升高考大题增分专项三高考中的数列第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-2-从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题特点是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型一等差、等比数列的综合问题突破策略一公式法对于等差、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)由已知,得a1b2=b1+b2,且b1=13,b2=19,∴a1=4,∴{an}是首项为4,公差为3的等差数列.∴an=4+(n-1)×3=3n+1.(2)由(1)及anbn+1=nbn+bn+1,得(3n+1)bn+1-bn+1=nbn,∴𝑏𝑛+1𝑏𝑛=13.∴{bn}是首项为13,公比为13的等比数列.∴Sn=131-13𝑛1-13=121-13𝑛.例1已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=13,b2=19,anbn+1=nbn+bn+1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二对点训练1在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解:(1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2.∴an=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32.设{bn}的公差为d,则𝑏1+3𝑑=8,𝑏1+15𝑑=32,解得𝑏1=2,𝑑=2.所以bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.数列{bn}的前n项和Sn=nb1+𝑛(𝑛-1)2d=2n+𝑛(𝑛-1)2×2=n2+n.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二突破策略二转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二例2已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3an,T2n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求T2n.解:(1)∵3S1,2S2,S3成等差数列,∴4S2=3S1+S3.∴4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2.∴公比q=3.∴an=a1qn-1=3n.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,∵b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,∴T2n=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=-4(1+2+…+n)=-4×𝑛(𝑛+1)2=-2n2-2n.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二对点训练2设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由已知得𝑎1+𝑎2+𝑎3=7,(𝑎1+3)+(𝑎3+4)=6𝑎2⇒a2=2.设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1=2𝑞,a3=2q,又S3=7,∴2𝑞+2+2q=7,即2q2-5q+2=0.解得q=2或q=12.∵q1,∴q=2,∴a1=1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二(2)由(1)得a3n+1=23n,∴bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,∴数列{bn}为等差数列.∴Tn=b1+b2+…+bn=𝑛(𝑏1+𝑏𝑛)2=𝑛(3ln2+3𝑛ln2)2=3𝑛(𝑛+1)2ln2.故Tn=3𝑛(𝑛+1)2ln2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型二证明数列为等差或等比数列突破策略一定义法用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an-1=d(n≥2)和an+1-an=d,前者必须加上“n≥2”,否则n=1时a0无意义;用定义法证明一个数列是等比数列也常采用两个式子𝑎𝑛𝑎𝑛-1=q(常数q≠0,且n≥2)和𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q(常数q≠0).第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二例3已知数列{an},其前n项和为Sn=32n2+72n(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列;(3)若数列{bn}满足an=log2bn,试证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.解:(1)∵Sn=32n2+72n,∴a1=S1=5,a1+a2=S2=32×22+72×2=13,即a2=8.又a1=5满足an=3n+2,故an=3n+2.因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),所以数列{an}是以5为首项,3为公差的等差数列.(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32[n2-(n-1)2]+72[n-(n-1)]=32(2n-1)+72=3n+2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二(3)由an=log2bn,得bn=2𝑎𝑛(n∈N*),故𝑏𝑛+1𝑏𝑛=2𝑎𝑛+12𝑎𝑛=23=8(n∈N*).又b1=2𝑎1=32,所以数列{bn}是以32为首项,8为公比的等比数列.所以Tn=32(1-8𝑛)1-8=327(8n-1).第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-13-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二对点训练3已知数列{an},其前n项和为Sn,满足a1=2,Sn=λnan+μan-1,其中n≥2,n∈N*,λ,μ∈R.(1)若λ=0,μ=4,bn=an+1-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列;(2)若a2=3,且λ+μ=32,求证:数列{an}是等差数列.证明:(1)若λ=0,μ=4,则Sn=4an-1(n≥2),所以an+1=Sn+1-Sn=4(an-an-1),即an+1-2an=2(an-2an-1),所以bn=2bn-1.又由a1=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2-2a1=2≠0,即bn≠0,所以𝑏𝑛𝑏𝑛-1=2,故数列{bn}是等比数列.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-14-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二(2)若a2=3,由a1+a2=2λa2+μa1,得5=6λ+2μ.又λ+μ=32,解得λ=12,μ=1.将a1=2,a2=3,λ=12,μ=1代入Sn=λnan+μan-1,得a3=4,所以a1,a2,a3成等差数列.由Sn=𝑛2an+an-1,得Sn+1=𝑛+12an+1+an,两式相减得an+1=𝑛+12an+1-𝑛2an+an-an-1,即(n-1)an+1-(n-2)an-2an-1=0,所以nan+2-(n-1)an+1-2an=0,两式相减得nan+2-2(n-1)an+1+(n-2)an-2an+2an-1=0,所以n(an+2-2an+1+an)+2(an+1-2an+an-1)=0,第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-15-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二所以(an+2-2an+1+an)=-2𝑛(an+1-2an+an-1)=22𝑛(𝑛-1)(an-2an-1+an-2)=……=(-2)𝑛-1𝑛(𝑛-1)…2(a3-2a2+a1).因为a1-2a2+a3=0,所以an+2-2an+1+an=0,即数列{an}是等差数列.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-16-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二突破策略二递推相减化归法对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-17-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二例4已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(m+1)-man对任意的n∈N*都成立,其中m为常数,且m-1.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)记数列{an}的公比为q,设q=f(m),若数列{bn}满足(3)在(2)的条件下,设cn=bn·bn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn1.b1=a1,bn=f(bn-1)(n≥2,n∈N*).求证:数列1𝑏𝑛是等差数列;第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-18-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二证明:(1)当n=1时,a1=S1=1.∵Sn=(m+1)-man,①∴Sn-1=(m+1)-man-1(n≥2),②由①-②,得an=man-1-man(n≥2),即(m+1)an=man-1.∵a1≠0,m-1,∴an-1≠0,m+1≠0.∴𝑎𝑛𝑎𝑛-1=𝑚𝑚+1(n≥2).∴数列{an}是首项为1,公比为𝑚𝑚+1的等比数列.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-19-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二(2)∵f(m)=𝑚𝑚+1,b1=a1=1,bn=f(bn-1)=𝑏𝑛-1𝑏𝑛-1+1(n≥2),∴1𝑏𝑛=𝑏𝑛-1+1𝑏𝑛-1(n≥2).∴1𝑏𝑛−1𝑏𝑛-1=1(n≥2).∴数列1𝑏𝑛是首项为1,公差为1的等差数列.(3)由(2)得1𝑏𝑛=n,则bn=1𝑛.故cn=bn·bn+1=1𝑛(𝑛+1),因此,Tn=11×2+12×3+…+1𝑛(𝑛+1)=11−12+12−13+13−14+…+1𝑛−1𝑛+1=1-1𝑛+11.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-20-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二对点训练4设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m为常数,且m≠-3.(1)求证:{an}是等比数列;(2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=32f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证:1𝑏𝑛为等差数列,并求bn.证明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)an+1=2man.∴{an}是等比数列.又m≠-3,∴𝑎𝑛+1𝑎𝑛=2𝑚𝑚+3(n≥1),第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-21-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二(2)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)S1+2ma1=m+3,即a1=1,∴b1=1.又数列{an}的公比q=f(m)=2𝑚𝑚+3,∴当n≥2时,bn=32f(bn-1)=32·2𝑏𝑛-1𝑏𝑛-1+3