2021高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件

第八单元考点一考点二核心素养专项提升4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=.(2)商数关系:sin𝛼cos𝛼=𝛼≠π2+𝑘π,𝑘∈Z.1tanα第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.三角函数的诱导公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα余弦cosα正切tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限-sinα-sinαsinαcosαcosα-cosαcosα-cosαsinα-sinαtanα-tanα-tanα第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2313.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°角α的弧度数0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋22𝜋33𝜋45𝜋6πsinα122232322212cosα322212-12-22-32tanα333-3-1-33001010-101第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)对任意的角α,β,都有sin2α+cos2β=1.()(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()(2)若α∈R,则tanα=sin𝛼cos𝛼恒成立.()(4)若cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则cosθ=13.()××××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234152.(2019山东济宁期末)已知sinα=-,且α是第三象限角,则tanα的值等于()45A.-34B.34C.-43D.43答案解析解析关闭由已知得,cosα=-35,所以tanα=sin𝛼cos𝛼=43.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234153.已知sin5π2+𝛼=15,则cosα=()A.-25B.-15C.15D.25答案解析解析关闭∵sin5π2+𝛼=sinπ2+𝛼=cosα,∴cosα=15,故选C.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234154.已知x∈-π2,0,tanx=-43,则sin(x+π)等于()A.35B.-35C.-45D.45答案解析解析关闭因为x∈-π2,0,tanx=-43,所以sinx=-45.所以sin(x+π)=-sinx=45.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234155.已知tanθ=2,则sinθcosθ=.答案解析解析关闭sinθcosθ=sin𝜃·cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=tan𝜃tan2𝜃+1=222+1=25.答案解析关闭25第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3考点1同角三角函数基本关系式的应用例1已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=.(1)求tanα的值;思考同角三角函数基本关系式有哪些用途?15(2)把1cos2𝛼-sin2𝛼用tanα表示出来,并求其值.解(1)联立方程sin𝛼+cos𝛼=15,①sin2𝛼+cos2𝛼=1.②由①得cosα=15-sinα,将其代入②,整理得25sin2α-5sinα-12=0.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3∵α是三角形内角,∴sin𝛼=45,cos𝛼=-35,∴tanα=-43.(2)1cos2𝛼-sin2𝛼=sin2𝛼+cos2𝛼cos2𝛼-sin2𝛼=sin2𝛼+cos2𝛼cos2𝛼cos2𝛼-sin2𝛼cos2𝛼=tan2𝛼+11-tan2𝛼.∵tanα=-43,∴1cos2𝛼-sin2𝛼=tan2𝛼+11-tan2𝛼=-432+11--432=-257.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点32.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tan.3.关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=sin𝛼cos𝛼𝛼≠𝑘π+π2,𝑘∈Z可以实现角α的弦切互化.π4第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3(2)已知tanα=-43.①求sin𝛼-4cos𝛼5sin𝛼+2cos𝛼的值;②求sin2α+2sinαcosα的值.对点训练1(1)(2019江西临川模拟)已知cos(-80°)=k,则tan100°=()A.1-𝑘2𝑘B.-1-𝑘2𝑘C.𝑘1-𝑘2D.-𝑘1-𝑘2B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3(2)解:①sin𝛼-4cos𝛼5sin𝛼+2cos𝛼=tan𝛼-45tan𝛼+2=-43-45×-43+2=87.②sin2α+2sinαcosα=sin2𝛼+2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan2𝛼+2tan𝛼1+tan2𝛼=169-831+169=-825.解析:∵cos80°=cos(-80°)=k,∴sin80°=1-cos280°=1-𝑘2,∴tan100°=-tan80°=-sin80°cos80°=-1-𝑘2𝑘.故选B.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点2利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值例2已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,且θ∈(0,2π).(2)求m的值;(3)求方程的两根及此时θ的值.思考sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子之间有怎样的关系?(1)求sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos𝜃1-tan𝜃的值;3第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解(1)由根与系数的关系可知sin𝜃+cos𝜃=3+12,①sin𝜃·cos𝜃=𝑚2,②而sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos𝜃1-tan𝜃=sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos2𝜃cos𝜃-sin𝜃=sinθ+cosθ=3+12.(2)由①两边平方得1+2sinθcosθ=2+32,将②代入得m=32.(3)当m=32时,原方程变为2x2-(1+3)x+32=0,解得x1=32,x2=12,则sin𝜃=32,cos𝜃=12或sin𝜃=12,cos𝜃=32.∵θ∈(0,2π),∴θ=π6或θ=π3.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解题心得1.通过平方,sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间可建立联系,若令sinα+cosα=t,则sinαcosα=𝑡2-12,sinα-cosα=±2-𝑡2(注意根据α的范围选取正、负号).2.利用上述关系,对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,可以知一求二.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα=()A.-1B.-22C.22D.1(2)已知-π2α0,sinα+cosα=-15,则1cos𝛼-sin𝛼的值为()A.75B.725C.57D.2425AC第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)因为sinα-cosα=2,所以(sinα-cosα)2=2,所以sin2α=-1.因为α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以2α=3π2.所以α=3π4,所以tanα=-1.(方法二)由sin𝛼-cos𝛼=2,sin2𝛼+cos2𝛼=1,得2cos2α+22cosα+1=0,即(2cosα+1)2=0,所以cosα=-22.又α∈(0,π),所以α=3π4,所以tanα=tan3π4=-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3(方法三)因为sinα-cosα=2,所以2sin𝛼-π4=2,所以sin𝛼-π4=1.因为α∈(0,π),所以α=3π4,所以tanα=-1.(2)(方法一)因为sinα+cosα=-15,所以(sinα+cosα)2=-152,可得2sinαcosα=-2425.而(cosα-sinα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1+2425=4925,又-π2α0,所以sinα0,cosα0,所以cosα-sinα=75.所以1cos𝛼-sin𝛼=57.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(方法二)联立sin𝛼+cos𝛼=-15,①sin2𝛼+cos2𝛼=1,②由①得,sinα=-15-cosα,将其代入②,整理得25cos2α+5cosα-12=0.因为-π2α0,所以sin𝛼=-45,cos𝛼=35,于是1cos𝛼-sin𝛼=135--45=57.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点3诱导公式的应用(多考向)考向一利用诱导公式化简三角函数式例3(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)=.(2)设f(α)=2sin(π+𝛼)cos(π-𝛼)-cos(π+𝛼)1+sin2𝛼+cos3π2+𝛼-sin2π2+𝛼(1+2sinα≠0),则f-23π6=.31第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解析:(1)原式=-sin1200°·cos1290°-cos1020°sin1050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin120°cos210°-cos300°sin330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=32×32+12×12=1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3(2)∵f(α)=(-2sin𝛼)(-cos𝛼)+cos𝛼1+sin2𝛼+sin𝛼-cos2𝛼=2sin𝛼cos𝛼+cos𝛼2sin2𝛼+sin𝛼=cos𝛼(1+2sin𝛼)sin𝛼(1+2sin𝛼)=1tan𝛼,∴f-23π6=1tan-23π6=1tan-4π+π6=1tanπ6=3.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3思考观察题目中的两角之间有什么关系?当所给两角互补或互余时,怎样简化解题过程?考向二利用诱导公式求值例4(1)已知θ是第四象限角,且sin𝜃+π4=35,则tan𝜃-π4=.(2)已知tanπ6-𝛼=33,则tan56π+𝛼=.-43-33第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-26-考点1考点2考点3解析:(1)∵sin𝜃+π4=35,∴cos𝜃-π4=cos𝜃+π4-π2=sin𝜃+π4=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin𝜃-π4=-45.∴tan𝜃-π4=-43.(2)∵π