2021高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.5 数学归纳法课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升7.5数学归纳法第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测211.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.k+1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测212.数学归纳法的框图表示第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()(4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+”,验证当n=1时,等号左边的式子应为1+2+22+23.()2𝑛+2=2𝑛+3×××√√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测234152.若f(n)=1+12+13+…+16𝑛-1(n∈N*),则f(1)等于()A.1B.15C.1+12+13+14+15D.非以上答案C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234153.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13−14+…-1𝑛=21𝑛+2+1𝑛+4+…+12𝑛时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234154.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n≥2)直线,任何两条不平行,任何三条不过同一个点的交点个数为时,第一步验证n0等于()A.1B.2C.3D.4𝑛(𝑛-1)2”答案解析解析关闭因为平面内不平行的两条相交直线就有交点,所以验证n0=2.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234155.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是.𝑛4+𝑛22答案解析解析关闭∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.答案解析关闭(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-9-考点1考点2考点3考点1用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明:当n∈N*时,cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx=sin𝑛+12𝑥2sin12𝑥−12(x∈R,且x≠2kπ,k∈Z).思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?证明：①当n=1时,等式右边=sin1+12𝑥2sin12𝑥−12=sin1+12𝑥-sin1-12𝑥2sin12𝑥=sin𝑥cos12𝑥+cos𝑥sin12𝑥-sin𝑥cos12𝑥-cos𝑥sin12𝑥2sin12𝑥=cosx=等式左边,等式成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3②假设当n=k时等式成立,即cosx+cos2x+cos3x+…+coskx=sin𝑘+12𝑥2sin12𝑥−12.那么,当n=k+1时,cosx+cos2x+cos3x+…+coskx+cos(k+1)x=sin𝑘+12𝑥2sin12𝑥−12+cos(k+1)x=sin(𝑘+1)𝑥-12𝑥+2sin12𝑥cos(𝑘+1)𝑥2sin12𝑥−12=sin(𝑘+1)𝑥cos12𝑥-cos(𝑘+1)𝑥sin12𝑥+2sin12𝑥cos(𝑘+1)𝑥2sin12𝑥−12=sin(𝑘+1)𝑥cos12𝑥+cos(𝑘+1)𝑥sin12𝑥2sin12𝑥−12=sin𝑘+1+12𝑥2sin12𝑥−12.这就是说,当n=k+1时等式也成立.由①和②可知,对任何n∈N*等式都成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3解题心得用数学归纳法证明等式的注意点:(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3对点训练1用数学归纳法证明:12×4+14×6+16×8+…+12𝑛(2𝑛+2)=𝑛4(𝑛+1)(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=12×1×(2×1+2)=18,右边=14×(1+1)=18,左边=右边,即等式成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3(2)假设n=k(k∈N+)时等式成立,即12×4+14×6+16×8+…+12𝑘(2𝑘+2)=𝑘4(𝑘+1),则当n=k+1时,12×4+14×6+16×8+…+12𝑘(2𝑘+2)+12(𝑘+1)[2(𝑘+1)+2]=𝑘4(𝑘+1)+14(𝑘+1)(𝑘+2)=𝑘(𝑘+2)+14(𝑘+1)(𝑘+2)=(𝑘+1)24(𝑘+1)(𝑘+2)=𝑘+14(𝑘+2)=𝑘+14(𝑘+1+1).所以当n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切n∈N+等式都成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点2用数学归纳法证明不等式例2(2019浙江,20)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn=𝑎𝑛2𝑏𝑛,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn2√𝑛,n∈N*.思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3(1)解:设数列{an}的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2.从而an=2n-2,n∈N*.所以Sn=n2-n,n∈N*.由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).解得bn=1𝑑(𝑆𝑛+12-SnSn+2).所以bn=n2+n,n∈N*.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3(2)证明:cn=𝑎𝑛2𝑏𝑛=2𝑛-22𝑛(𝑛+1)=𝑛-1𝑛(𝑛+1),n∈N*.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c1=02,不等式成立;②假设n=k(k∈N*)时不等式成立,即c1+c2+…+ck2√𝑘.那么,当n=k+1时,c1+c2+…+ck+ck+12√𝑘+𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)2√𝑘+1𝑘+12√𝑘+2√𝑘+1+√𝑘=2√𝑘+2(√𝑘+1−√𝑘)=2√𝑘+1,即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c1+c2+…+cn2对任意n∈N*成立.√𝑛第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.证明的关键是由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3对点训练2已知数列{an},当n≥2时,an-1,a1=0,𝑎𝑛+12+an+1-1=𝑎𝑛2,求证:当n∈N+时,an+1an.证明(1)当n=1时,∴a1a2.(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1ak,又ak+2+ak+1+1-1+(-1)+1=-1,∴ak+2-ak+10,∴ak+2ak+1,即当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,当n∈N+时,an+1an.∵𝑎𝑘+12−𝑎𝑘2=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),ak+1ak≤0,∴𝑎𝑘+12−𝑎𝑘20.∵a2满足𝑎22+a2-1=0,且a20,第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点3归纳—猜想—证明Sn=𝑎𝑛2+1𝑎𝑛-1例3已知数列{an}的前n项和为Sn,且,且an0,n∈N*(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.思考解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3(1)解当n=1时,由已知得a1=𝑎12+1𝑎1-1,即𝑎12+2a1-2=0,解得a1=√3-1(a10).当n=2时,由已知得a1+a2=𝑎22+1𝑎2-1,将a1=√3-1代入并整理得𝑎22+2√3a2-2=0,解得a2=√5−√3(a20).同理可得a3=√7−√5.猜想an=√2𝑛+1−2𝑛-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(2)证明①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.②假设当n=k(k3,k∈N+)时,通项公式成立,即ak=√2𝑘+1−2𝑘-1.由于ak+1=Sk+1-Sk=𝑎𝑘+12+1𝑎𝑘+1−𝑎𝑘2−1𝑎𝑘,将ak=√2𝑘+1−2𝑘-1代入上式,整理得𝑎𝑘+12+2√2𝑘+1ak+1-2=0,解得ak+1=√2𝑘+3−√2𝑘+1,即n=k+1时通项公式仍成立.由①②可知对所有n∈N+,an=√2𝑛+1−2𝑛-1都成立.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3解题心得解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3对点训练3把一个圆分成n(n≥3)个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有f(n)种方法.(1)写出f(3),f(4)的值;(2)猜想f(n)(n≥3),并用数学归纳法证明.解：(1)f(3)=24,f(4)=84.(2)当n≥4时,第1个扇形a1有4种不同的染法,因为第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同,所以a2有3种不同的染法,类似地,扇形a3,…,an-1均有3种染法.对于扇形an,用与扇形an-1不同的3种颜色染色,但是,这样包括了它与扇形a1颜色相同的情况,而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n-1),于是可得f(n)=4×3n-1-f(n