2021高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 9.7 抛物线课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升9.7抛物线第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的___________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.距离相等焦点准线第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测231标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离离心率e=准线方程范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0))|PF|=x0+𝑝2|PF|=-x0+𝑝2|PF|=y0+𝑝2|PF|=-y0+𝑝21x=-𝑝2x=𝑝2y=-𝑝2y=𝑝2第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测2313.常用结论设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测231(1)x1x2=𝑝24,y1y2=-p2.(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2𝑝sin2𝛼(α为弦AB所在直线的倾斜角).(3)S△AOB=𝑝22sin𝛼(α为弦AB所在直线的倾斜角).(4)1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|为定值2𝑝.(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(7)∠CFD=90°.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点F𝑝2,0的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=𝑝24,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.()××××√第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234152.点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为1,则a的值为()A.-14或-112B.14或112C.-4或-12D.4或12答案解析解析关闭抛物线的准线方程为x=-𝑎4,则点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为2+𝑎4=1,解得a=-4或a=-12.故选C.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234153.M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=()A.15°B.30°C.45°D.60°答案解析解析关闭由题意得,点M的坐标为𝑝2,±𝑝.∵K-𝑝2,0,∴kKM=±1.∴∠MKO=45°,故选C.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234154.过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=5,则线段AB中点的纵坐标为.答案解析解析关闭抛物线C:x2=4y,则p=2.设经过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,其纵坐标分别为y1,y2,利用抛物线定义,|AB|=y1+y2+p=5,AB中点纵坐标为y0=12(y1+y2)=12(|AB|-p)=32.答案解析关闭32第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234155.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为.答案解析解析关闭设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.答案解析关闭y2=4x第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点1抛物线的定义及其应用例1(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()A.√22B.√2C.3√22D.2√2(2)已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.2√34C.1615√34D.1817√34思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?答案解析解析关闭(1)焦点F(1,0),设A,B分别在第一、第四象限,则点A到准线l:x=-1的距离为3,得点A的横坐标为2,纵坐标为2√2,直线AB的方程为y=2√2(x-1),与抛物线方程联立可得2x2-5x+2=0,所以点B的横坐标为12,纵坐标为-√2,S△AOB=12×1×(2√2+√2)=3√22.(2)由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为|PA|,点P到直线l2的距离为|PB|,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|3×2-5×0+30|32+(-5)2=1817√34.答案解析关闭(1)C(2)D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解题心得1.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化,即“见到焦点想准线,见到准线想焦点”.2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+𝑝2或|PF|=|y|+𝑝2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3(2)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A72,4,则|PA|+|PM|的最小值是()A.72B.4C.92D.5C对点训练1(1)(2019河北衡水中学高三下学期大联考2)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M是抛物线C上一点,直线MF与抛物线的准线l交于点N,且,若|MF|=6,则p=()A.2B.3C.4D.6𝐹𝑁=-2𝐹𝑀C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3解析:(1)根据抛物线的定义,得𝑝6=|𝑁𝐹||𝑀𝐹|+|𝑁𝐹|=126+12=23,所以p=4.故选C.(2)抛物线焦点F12,0,准线x=-12,如图,延长PM交准线于N,由抛物线定义得|PF|=|PN|.∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5,而|MN|=12,∴|PA|+|PM|≥5-12=92,当且仅当A,P,F三点共线时,取等号,此时,点P位于抛物线上,∴|PA|+|PM|的最小值为92.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点2抛物线的标准方程及几何性质例2(1)(2019湖北五校联考)直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x(2)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?2√2B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3(2)双曲线x2-y2=1的焦点为F1(-√2,0),F2(√2,0).抛物线的准线方程为x=-𝑝2.因为p0,所以-𝑝2=-√2,解得p=2√2.解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|=-(x1+x2)+p=8.又AB的中点到y轴的距离为2,∴-𝑥1+𝑥22=2,∴x1+x2=-4,∴p=4,∴所求抛物线的方程为y2=-8x.故选B.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3解题心得1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若𝐹𝑃=4𝐹𝑄,则|QF|=()A.72B.52C.3D.2(2)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=√3xCC第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解析:(1)∵𝐹𝑃=4𝐹𝑄,∴|𝐹𝑃|=4|𝐹𝑄|.∴|𝑃𝑄||𝑃𝐹|=34.过Q作QQ'⊥l,垂足为Q',设l与x轴的交点为A,则|AF|=4,∴|𝑃𝑄||𝑃𝐹|=|𝑄𝑄'||𝐴𝐹|=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(2)如图,分别过A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故抛物线方程为y2=3x.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点3直线与抛物线的关系例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)若点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.思考怎样求解直线与抛物线的综合问题?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+𝑝2.因为|AF|=3,即2+𝑝2=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2√2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2√2(x-1).由𝑦=2√2(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-√2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3又G(-1,0),所以kGA=2√2-02-(-1)=2√23,kGB=-√2-012-(-1)=-