2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步章末整合课件 新人教B版必修第四册

-1-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升专题一共点、共线、共面问题例1如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.题型突破深化提升证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.又因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.所以EF∥GH.所以E,F,G,H四点共面.(2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EF∥GH,且EF≠GH.所以EG与FH必相交,设交点为M.而EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,所以点M∈平面ABC,且点M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上.题型突破深化提升专题二空间中的位置关系例2下面四个命题中,正确命题的个数是()①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b;④如果直线a与平面α内的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.A.0B.1C.2D.3题型突破深化提升解析:序号正误原因分析①×如右图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB∥DC,AB却在过DC的平面ABCD内,①不正确②×如上图,AB∥平面A'B'C'D',B'C'⊂平面A'B'C'D',AB与B'C'异面,②不正确③×如上图,AB∥平面CDD'C',BB'∥平面CDD'C',AB∩BB'=B,即AB与BB'不平行,③不正确④×如上图,设直线l是平面ABB'A'内与AB平行的任一条直线,l有无数条,即AB与平面ABB'A'内的无数条直线平行,但AB⊂平面ABB'A',④不正确答案:A题型突破深化提升专题三空间中的平行关系例3如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.题型突破深化提升解:当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图连接BD和AC交于点O,连接FO,则PF=12PB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.又MA􀱀12PB,∴PF􀱀MA.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.题型突破深化提升专题四空间中的垂直关系例4如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求证:BC1⊥AB1.题型突破深化提升证明:(1)设BC的中点为M,连接B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC⊂平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.题型突破深化提升(2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1.∴四边形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.题型突破深化提升专题五空间角的计算例5如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.题型突破深化提升(1)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又∵二面角B-AO-C是直二面角.∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.题型突破深化提升(2)解:作DE⊥OB,垂足为点E,连接CE(如图),则DE∥AO.∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.在Rt△OCB中,CO=BO=2,OE=12BO=1,∴CE=𝐶𝑂2+𝑂𝐸2=5.又DE=12AO=3,∴在Rt△CDE中,tan∠CDE=𝐶𝐸𝐷𝐸=53=153.即异面直线AO与CD所成的角的正切值是153.题型突破深化提升(3)解:由(1)知,CO⊥平面AOB,∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,且tan∠CDO=𝑂𝐶𝑂𝐷=2𝑂𝐷.∴当OD最小时,tan∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为点D,OD=𝑂𝐴·𝑂𝐵𝐴𝐵=3,tan∠CDO=233,即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是233.题型突破深化提升例6《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为π3,求𝐷𝐶𝐵𝐶的值.题型突破深化提升解:(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.又DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.题型突破深化提升(2)如图,在平面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=1+𝜆2,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPF=∠FDB=π3,则tanπ3=tan∠DPF=𝐵𝐷𝑃𝐷=1+𝜆2=3,解得λ=2.所以𝐷𝐶𝐵𝐶=1𝜆=22.故当平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为π3时,𝐷𝐶𝐵𝐶=22.题型突破深化提升专题六逻辑推理的核心素养例7如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.求证:BD⊥平面AEF.题型突破深化提升证明:∵AB为☉O直径,C为☉O上一点,∴BC⊥AC,𝐷𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶⇒𝐷𝐴⊥𝐵𝐶𝐵𝐶⊥𝐴𝐶𝐴𝐶⋂𝐷𝐴=𝐴⇒𝐵𝐶⊥平面𝐷𝐴𝐶𝐴𝐹⊂平面𝐷𝐴𝐶⇒𝐵𝐶⊥𝐴𝐹𝐴𝐹⊥𝐷𝐶𝐵𝐶⋂𝐷𝐶=𝐶⇒𝐴𝐹⊥平面𝐷𝐶𝐵𝐵𝐷⊂平面𝐷𝐶𝐵⇒𝐵𝐷⊥𝐴𝐹𝐵𝐷⊥𝐴𝐸𝐴𝐹⋂𝐴𝐸=𝐴⇒BD⊥平面AEF.题型突破深化提升专题七函数与方程思想例8如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0a2).(1)求MN的长;(2)求a为何值时,MN的长最小.题型突破深化提升解:(1)如图所示,作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连接PQ,依题意可得四边形MNQP是平行四边形,∴MN=PQ.∵CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴AC=BF=2,∴由MP∥AB,NQ∥EF得,𝐶𝑃1=𝑎2,𝐵𝑄1=𝑎2,即CP=BQ=𝑎2.∴MN=PQ=𝐵𝑃2+𝐵𝑄2=(1-𝐶𝑃)2+𝐵𝑄2=1-𝑎22+𝑎22=𝑎-222+12(0a2).题型突破深化提升(2)由(1)得MN=𝑎-222+12,又0a2,所以当a=22时,MNmin=22.故M,N分别移动到AC,BF的中点时,MN的长最小,最小值为22.