2020高考数学 艺考生冲刺 第七章 概率与统计 第21讲 排列组合、二项式定理（理）课件

知识梳理典例变式基础训练能力提升第21讲排列组合、二项式定理(理)知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.加法原理与乘法原理(1)分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.(2)分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.(3)分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理2.排列与组合(1)排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组(2)排列数与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(3)排列数、组合数的公式及性质公式(1)𝐴nm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!(2)𝐶nm=𝐴nm𝐴mm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!(n,m∈N*,且m≤n).特别地C𝑛0=1性质(1)0!=1;𝐴𝑛𝑛=n!.(2)C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚;C𝑛+1𝑚=C𝑛𝑚+C𝑛𝑚-1知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理3.二项式定理(1)二项式定理①二项式定理:(a+b)n=C𝑛0an+C𝑛1an-1b+…+C𝑛𝑟an-rbr+…+C𝑛𝑛bn(n∈N*);②通项公式:Tr+1=C𝑛𝑟an-rbr,它表示第r+1项;③二项式系数:二项式展开式中各项的系数为C𝑛0,C𝑛1,…,C𝑛𝑛.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(2)二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等,即𝐶nk=𝐶nn-k增减性二项式系数𝐶nk当kn+12(n∈N*)时,是递增的当k𝑛+12(n∈N*)时,是递减的二项式系数最大值当n为偶数时,中间的一项C𝑛𝑛2取得最大值当n为奇数时,中间的两项C𝑛𝑛-12与𝐶𝑛𝑛+12取最大值(3)各二项式系数和①(a+b)n展开式的各二项式系数和:C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=2n.②偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C𝑛0+C𝑛2+C𝑛4+…=C𝑛1+C𝑛3+C𝑛5+…=2n-1.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一加法与乘法原理【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班,从甲到丙地,每天有5个班车,从丙地到乙地每天有3个班车,则从甲地到乙地不同的乘车方法有()A.12种B.19种C.32种D.60种(2)如图,用6种不同的颜色分别给图中A,B,C,D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有()A.400种B.460种C.480种D.496种知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)分两类:一类是直接从甲到乙,有n1=4种方法;另一类是从甲经丙再到乙,可分为两步,有n2=5×3=15种方法.由分类计数原理可得:从甲到乙的不同乘车方法n=n1+n2=4+15=19.故选B.(2)完成此事可能使用4种颜色,也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时:从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D有3种,完成此事共有6×5×4×3=360种方法;当使用3种颜色时,A,D使用同一种颜色,从A,D开始,有6种方法,B有5种,C有4种,完成此事共有6×5×4=120种方法.由分类加法计数原理可知:不同的涂法有360+120=480(种).【答案】(1)B(2)C知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)注意在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理;注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.(2)解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.第(2)题中,相邻区域不同色,是按区域1与3是否同色分类处理.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一1.(2015·四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2,且a2a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920B【解析】由题意得,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A43=72(个);若万位是4,则有2×A43=48(个),故比40000大的偶数共有72+48=120(个).【解析】若a2=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0.“凸数”为120与121,共2个.若a2=3,则“凸数”有2×3=6(个).若a2=4,满足条件的“凸数”有3×4=12(个),…,若a2=9,满足条件的“凸数”有8×9=72(个).∴所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).A知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型二排列与组合【例2—1】3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法?(2)如果女生都不相邻,有多少种排法?(3)如果女生不站两端,有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻),有多少种排法?(5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法?【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有6个元素,排成一排有A66种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有A33种排法,因此共有A66·A33=4320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生,有A55种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有A63种排法,因此共有A55·A63=14400(种)不同排法.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(3)法一(位置分析法)因为两端不排女生,只能从5个男生中选2人排列,有A52种排法,剩余的位置没有特殊要求,有A66种排法,因此共有A52·A66=14400(种)不同排法.法二(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生,有A63种排法,其余位置无限制,有A55种排法,因此共有A63·A55=14400(种)不同排法.(4)8名学生的所有排列共A88种,其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12,∴符合要求的排法种数为12A88=20160(种).知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置.法一(特殊元素法)甲在最右边时,其他的可全排,有A77种;甲不在最右边时,可从余下6个位置中任选一个,有A61种.而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上,有A61种,其余人全排列,共有A61·A61·A66种.由分类加法计数原理,共有A77+A61·A61·A66=30960(种).法二(特殊位置法)先排最左边,除去甲外,有A71种,余下7个位置全排,有A77种,但应剔除乙在最右边时的排法A61·A66种,因此共有A71·A77−A61·A66=30960(种).法三(间接法)8个人全排,共A88种,其中,不合条件的有甲在最左边时,有A77种,乙在最右边时,有A77种,其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情形,有A66种.因此共有A88-2A77+A66=30960(种).知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例2—2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?【解析】(1)从余下的34种商品中,选取2种有C342=561(种),∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有C343种或者C353−C342=C343=5984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)选取2件假货有C201C152种,选取3件假货有C153种,共有选取方式C201C152+C153=2100+455=2555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(4)选取3件的总数有C353,因此共有选取方式C353−C153=6545-455=6090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例2—3】4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?【解析】(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有C41C42C31×A22=144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(3)确定2个空盒有C42种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有C43C11A22种方法;第二类有序均匀分组有C42C22A22·A22种方法.故共有C42(C43C43A22+C42C22A22·A22)=84(种).知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(2)解决有限制条件排列问题的策略①根据特殊元素(位置)优先安排进行分步,即先安排特殊元素或特殊位置.②根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类.(3)含有附加条件的组合问题的解法①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.②“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解.(4)解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(或位置)的性质进行分类;②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位