2020高考数学 艺考生冲刺 第六章 函数、导数及其应用 第16讲 指数函数、对数函数、二次函数、幂

知识梳理典例变式基础训练能力提升第16讲指数函数、对数函数、二次函数、幂函数知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.幂函数(1)定义形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.对于幂函数,只讨论α=1,2,3,,-1时的情形.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义;②当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;③当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.12知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴是x=-𝑏2𝑎,顶点坐标是-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎;顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),图象的对称轴是x=m,顶点坐标是(m,n);零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴是x=x1+x22.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域4ac-b24a,+∞-∞,4ac-b24a单调性在-∞,-b2a上单调递减,在-b2a,+∞上单调递增在-∞,-b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减对称性函数的图象关于x=-b2a对称知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理3.根式(1)根式的概念若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)a的n次方根的表示xn=a⇒x=𝑎𝑛(当𝑛为奇数且𝑛1时),x=±𝑎𝑛(当𝑛为偶数且𝑛1时).𝑎𝑛(2)根式的性质①(𝑎𝑛)n=a(n∈N*,n1).②𝑎𝑛𝑛=𝑎,𝑛为奇数,|𝑎|=𝑎,𝑎≥0,-𝑎,𝑎0,n为偶数.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂:𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N*,且n1);②负分数指数幂:𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N*,且n1);③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质①aras=ar+s(a0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理5.指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域R值域(0,+∞)知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理6.对数概念如果ax=N(a0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制:a0,且a≠1对数式与指数式的互化:ax=N⇔logaN=x负数和零没有对数1的对数是零:loga1=0以a为底a的对数是1:logaa=1,对数恒等式:a𝑙𝑜𝑔a𝑁=N知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理运算性质loga(M·N)=logaM+logaNa0,且a≠1,M0,N0logaMN=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)换底公式公式:logab=log𝑐𝑏log𝑐𝑎(a0,且a≠1;c0,且c≠1;b0)推广:log𝑎𝑚bn=𝑛𝑚logab;logab=1log𝑏𝑎知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理7.对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过定点(1,0)当x1时,y0当0x1时,y0当x1时,y0当0x1时,y0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理8.反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一幂函数的图象及性质【例1】(1)幂函数y=f(x)的图象过点(8,22),则幂函数y=f(x)的图象是()(2)若a=1223,b=1523,c=1213,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bcaD.bac(3)(2019·兰州模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点12,22,则k+α=()A.12B.1C.32D.2(4)若(a+1)12(3-2a)12,则实数a的取值范围是.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)令f(x)=xα,由f(8)=22得8α=22,即23α=232,解得α=12,所以f(x)=x12,故选C.(2)a=1223=1413,b=1523=12513,c=1213,由1251412得bac,故选D.(3)由幂函数的定义知k=1.又f12=22,所以12𝛼=22,解得α=12,从而k+α=32,故选C.(4)易知函数y=x12的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以𝑎+1≥0,3-2𝑎≥0,𝑎+13-2𝑎,解得-1≤a23.【答案】(1)C(2)D(3)C(4)-1,23知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α0,0α1,α=1,α1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一1.(2017·西安模拟)函数y=x23的图象大致是()ABCDC【解析】y=𝑥23=𝑥23,其定义域为x∈R,排除A,B,又0231,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.2.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·xn2-3n(n∈Z)在(0,+∞)上是减函数,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2B【解析】由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.当n=1时,f(x)=x-2=在(0,+∞)上是减函数;当n=-3时,f(x)=x18在(0,+∞)上是增函数.故n=1符合题意,应选B.1𝑥2知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型二二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行考查,多与其他知识结合,且常以选择题形式出现,难度为中高档题.高考对二次函数图象与性质的考查主要从以下三个角度命题:①二次函数图象的识别问题;②二次函数的最值问题;③一元二次不等式恒成立问题.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例2】(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,则实数a的值为.(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.【解析】(1)f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,当a≥1时,ymax=a;当0a1时,ymax=a2-a+1;当a≤0时,ymax=1-a.根据已知条件得,𝑎≥1,𝑎=2或0𝑎1,𝑎2-𝑎+1=2或𝑎≤0,1-𝑎=2,解得a=2或a=-1.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(2)作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)0,则有𝑓(𝑚)0,𝑓(𝑚+1)0,即𝑚2+𝑚2-10,(𝑚+1)2+𝑚(𝑚+1)-10,解得-22m0.【答案】(1)-1或2(2)-22,0知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)二次函数最值问题的类型及处理思路:①类型:a.对称轴、区间都是给定的;b.对称轴动、区间固定;c.对称轴定、区间变动.②解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)二次函数中恒成立问题的求解思路:①一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)⇔a≥f(x)max,a≤f(x)⇔a≤f(x)min.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练二1.已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象是()ABCDD【解析】因为abc,且a+b+c=0,得a0,且c0,所以f(0)=c0,所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与y轴的交点在y轴的负半轴上.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式2.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为0,则a=.0【解析】因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1,所以对称轴为直线x=1,因为x=1不一定在区间[-2,a]内,所以应进行讨论.当-2a≤1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;所以a2-2a=0,所以a=0,a=2(舍去),当a1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.不合题意.故a的值为0.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式3.已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果对x∈[-3,1],f(x)0恒成立,则实数a的取值范围为.-12,4【解析】因为f(x)=x2+2(a-2)x+4,对称轴x=-(a-2),对x∈[-3,1],f(x)0恒成立,所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得:-(𝑎-2)-3,𝑓(-3)0,或-3≤-(𝑎-2)≤1,𝛥0,或-(𝑎-2)1,𝑓(1)0,解得a∈⌀或1≤a4或-12a1,所以a的取值范围为-12,4.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型三指数与对数运算【例3】(1)若a=2,b=4,求(𝑎+𝑎2b3)÷(𝑏+𝑎𝑏23)-1𝑎3-𝑏3−1𝑏3的值.(2)(1-log63)2+log62·log618log64=.【解析】(1)原式=𝑎-𝑏+𝑎2b3-𝑎𝑏23(𝑎3-𝑏3)(𝑏+𝑎𝑏23)−1𝑏3=(𝑎3-𝑏3)(𝑎23+𝑎𝑏3+𝑏3)+𝑎𝑏3(𝑎3-𝑏3)(𝑎3-𝑏3)(𝑏+𝑎𝑏23)−1𝑏3=(𝑎3+𝑏3)2𝑏+𝑎𝑏23−1𝑏3=(𝑎3+𝑏3)2𝑏23(𝑎3+𝑏3)−1𝑏3=𝑎3𝑏23当a=2,b=4时,原式=23163=12.(2)原式=(log62)2+log62·(2-log62)2log62=2log622log62=1.【答案】(1)12(2)1知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【注意】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一。【注意】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化。知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练三1.化简:(1)(0.06415)-2.523−3383-π0;(2)a43-8a13𝑏4b23+2𝑎𝑏3+𝑎23÷𝑎-23−2𝑏3𝑎×𝑎·𝑎23𝑎·𝑎35.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式解:(1)原式=(641000)15-5223-27813-1=(410)315×(-52)×23−323×13=25-1−32-1=0.(2)原式=𝑎13(𝑎13)3-(2𝑏13)3(𝑎13)2+𝑎13·(2𝑏13)+(2𝑏13)2÷𝑎13-2𝑏13𝑎×(𝑎·𝑎2