考点24-空间几何体体积及表面积(讲解)(原卷版)

考点24:空间几何体的表面积和体积【思维导图】【常见考法】考法一：体积1．（等体积法之换顶点）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，222ADBDAB，平面PAD底面ABCD，且2PAPD，E，F分别为PC，BD的中点.（1）求证：//EF平面PAD；（2）求证：平面PAD平面PBD；（3）求三棱锥BPCD的体积.2.（等体积法之点面距）已知三棱锥ABPC中，,APPCACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形.（1）求证：BC⊥平面APC；（2）若310BCAB，，求点B到平面DCM的距离.3．（补形法）将棱长为2的正方体1111ABCDABCD截去三棱锥1DACD后得到如图所示几何体，O为11AC的中点．（1）求证：//OB平面1ACD；（2）求几何体111ACBAD的体积．4．（分割法）如图，矩形ABCD中，3AB，1BC，E、F是边DC的三等分点.现将DAE、CBF分别沿AE、BF折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直.（1）若G为线段AB上一点，且1AG，求证：DG平面CBF；（2）求多面体CDABFE的体积.考法二：表面积1．如图，在四棱锥PABCD中，2AD，1ABBCCD，//BCAD，90PAD.PBA为锐角，平面PAB平面PBD.（Ⅰ）证明：PA平面ABCD；（Ⅱ）AD与平面PBD所成角的正弦值为24，求三棱锥PABD的表面积.2．如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABBC，1222AAABBC，M，N，D分别为AB，1BB，1CC的中点，E为线段MN上的动点.（1）证明：//CE平面1ADB；（2）若将直三棱柱111ABCABC沿平面1ADB截开，求四棱锥1ABCDB的表面积.3．如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,3ABC,M是PC上一动点.（1）求证:平面PAC平面MBD;（2）若PBPD,三棱锥PABD的体积为624,求四棱锥PABCD的侧面积.考法三：求参数1．如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABCD是等腰梯形，//ABCD，面ABFE是矩形，平面ABFE平面ABCD，BCCDAEa，60DAB.（1）求证：平面BDF平面ADE；（2）若三棱锥BDCF的体积为312，求a的值.2．如图，在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形，O是AD上一点，平面PAD平面,ABCD//,,1,2,3ABCDABADABCDBC.（1）若O是AD的中点，求证：OB平面POC；（2）设=ODOA，当取何值时，三棱锥BPOC的体积为3？考法四：求最值1．如图，在直三棱柱111ABCABC中，1AB，2BC，13,90,BBABC点D为侧棱1BB上一个动点（1）求此直三棱柱111ABCABC的表面积；（2）当1ADDC最小时，求三棱锥1DABC的体积.2．如图1，在矩形ABCD中，2AB，3BC，点E在线段BC上，2BEEC.把BAE沿AE翻折至1BAE的位置，1B平面AECD，连结1BD，点F在线段1DB上，12DFFB，如图2.（1）证明：//CF平面1BAE；（2）当三棱锥1BADE的体积最大时，求二面角1BDEC的余弦值.3．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥PABCFE.（1）求证：AC平面PEF；（2）求五棱锥PABCFE的体积最大时PAC的面积.4．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，垂直于圆所在的平面，且1．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证C平面D；（Ⅱ）求三棱锥PABC体积的最大值；（Ⅲ）若2BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值．