GM(1-1)模型

0引言房地产行业是国民经济的支柱产业之一,与人民生活息息相关,它的发展对国民经济的整体态势和全国人民的生活水平影响很大.近年来,我国房地产业发展迅速,既为整个国民经济的发展做出了贡献,又为改善人民居住条件发挥了决定性作用.但同时也面临较为严峻的问题和挑战,引起诸多争议,各方都坚持自己的观点,然而多是从政策层面、心理层面和资金层面等因素来考虑,定性分析多于定量分析.显然从定量角度把握各指标之间的数量关系,能较为准确的预见房地产行业的发展态势,从而进行有效地调控,进而实现可持续发展.因此通过建立数学模型定量地研究我国房地产问题是一个值得探索的方向.以下主要从未来商品房价格和房地产行业泡沫两个方面分别建立基于GM(1,1)模型和Cobweb模型的房地产行业模型,并参考国家统计局数据,利用MATLAB软件定量分析未来我国房地产市场的发展态势,希望对我国房地产行业的健康发展起到一定的指导作用.1房价预测模型1.1模型的建立与求解灰色模型1(GrayModel，又称灰色理论)有严格的理论基础,其最大的优点是实用.预测结果比较稳定,既适用于大量数据的预测,数据量较少时预测结果也很准确.用文献[2]中提供的数据(即商品房本年销售价格1991-2009年的数据)建立灰色系统中单序列一阶线性微分方程模型——GM(1,1)模型。这里,记原始数据列为:00001,2,,19786,995,,4681.Xxxx(Ⅰ)原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性,得到新数据序列:11111011,2,,19,,1,2,,19.kiXxxxxkxii(Ⅱ)对1xk建立一阶线性微分方程:11dxaxudt,其中,au为待定系数,分别称为发展系数和灰色作用量,a的有效区间为(-2,2),并记,au构成的列向量为,Lau,只要能求出参数,au就能求出1xk,进而求出0X的未来预测值.(Ⅲ)记1Z为1X的紧邻均值生成序列，11111,2,,19,Zzzz其中1110.50.51zkxkxk,k=1,2,…,19.从而生成矩阵1111110.510.5210.520.5310.5180.5191xxxxBxx与002996194681xYx.(Ⅳ)用最小二乘法求灰参数L,则1,0.0768,1056.9448LBBBYau,将,au代入11dxaxudt求解得100.07681114554.325113768.3251akkuuxkxeeaa.由于,au是由最小二乘法求得的近似值,所以上式是一个近似表达式,区别于原序列记为11xk记为11xk.(Ⅴ)将11xk与1xk作差，得到近似数据序列01111xkxkxk.(Ⅵ)对建立的灰色模型进行精度检验13：模型的精度由均方差比值C和小误差概率P共同划分,一般将模型的精度分为好、合格、勉强合格、不合格四级,若记该模型的均方差比值C所在等级为m,小误差概率P所在等级为n,则该模型的精度等级为max,mn,精度检验等级参照表(见表1).表1精度检验等级参照表指标精度等级相对误差均方差比值C小误差概率P一级(好)0.010.350.95二级（合格）0.050.500.80三级（勉强合格）0.100.650.70四级（不合格）0.200.800.60利用MATLAB软件编程计算得,该模型的均方差比值C=0.11140.35,其精度为一级,小误差概率P=1.00.95,精度也为一级,因此所建模型的精度为一级(好).故可用如下高精度模型预测房价：0110.07680.0768(1)1114554.3251().kkxkxkxkee用该预测模型及MATLAB编程计算1991-2009年商品房本年销售价格,并比较预测数据与原始数据,得如下图1所示.图11991-2009年商品房本年销售价格预测数据与原始数据的比较图至此,未来商品房本年销售价格预测模型已经建立起来.1.2模型的应用利用上述模型,用MATLAB编程进行预测,得2010-2029年商品房本年销售价格预测值,如下表2所示.表22010-2029年商品房本年销售价格预测值年份房价（元/平方米）年份房价（元/平方米）年份房价（元/平方米）年份房价（元/平方米）20104624.320156788.020209964.1202514626.320114993.320167329.6202110759.1202615793.320125391.720177914.4202211617.6202717053.520135821.920188545.9202312544.6202818414.220146286.420199227.8202413545.5202919883.4表2中的数据表明,商品房售价大约每10年翻一番,如此发展下去,一旦与我国经济发展的步伐不一致,就很容易出现房价泡沫,需要进行调控,如政府采取对房价的调控、限购政策的引导等措施.3结论及建议从房价预测数据我们发现:如果不实施宏观调控，商品房售价会逐年上升，大约每10年翻一番，无论其发展速度超前于或滞后于我国经济发展的速度，都会出现房价泡沫；总之，本文所建立的房价预测模型和房地产行业泡沫的评价模型可以为我们均衡发展房地产市场，减少或避免泡沫提供决策分析工具。参考文献：[1]邓聚龙.灰理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.[2]国家统计局数据库,2011年9月24日,[3]卓金武,魏永生等.MATLAB在数学建模中的应用[M].北京:北京航空航天大学出版社,2010.[4]谭永基,朱晓明等.经济管理数学模型案例教程[M].北京:高等教育出版社,2006.[5]高鸿业.西方经济学(微观部分)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.[6]王磊,申婵.灰色系统理论在垃圾填埋场稳定化研究中的应用[J].工程建设与设计,2010(2):83-86.[7]黄石松,陈红梅.房价之谜[M].北京:社会科学文献出版社,2009.[8]姜启源,谢金星等.《数学模型》(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[9]王楠,冯涛.蛛网模型的数学解析与实际应用研究[J].大众科技,2010(1):27-29.