2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A版选修2-2

-1-1.7.2定积分在物理中的应用目标导航1.通过具体实例了解定积分在物理中的应用.2.会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题.知识梳理定积分在物理中的应用变速直线运动做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即s=ba𝑣(t)dt变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(ab),那么变力F(x)所做的功为W=ba𝐹(x)dx知识梳理【做一做】若某物体在力F(x)=5x+3(单位:N)的作用下,沿与力相同的方向,从x=0处运动到x=5(单位:m)处,则F(x)做的功等于()A.75JB.77.5JC.79.5JD.80J解析:W=50𝐹(x)dx=50(5x+3)dx=5𝑥22+3𝑥|05=1252+15=77.5(J).故选B.答案:B重难聚焦1.在变速直线运动中,如何求路程、位移?剖析在用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时,分清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻t=a到时刻t=b所经过的路程s和位移s1如下.(1)若v(t)≥0(a≤t≤b),则s=𝑏𝑎𝑣(t)dt,s1=𝑏𝑎𝑣(t)dt.(2)若v(t)≤0(a≤t≤b),则s=−𝑏𝑎𝑣(t)dt,s1=𝑏𝑎𝑣(t)dt.(3)若在区间[a,c]上v(t)≥0,在区间[c,b]上v(t)0,则s=𝑐𝑎𝑣(t)dt−𝑏𝑐𝑣(t)dt,s1=𝑏𝑎𝑣(t)dt.对于给出速度—时间曲线求位移或路程的问题,关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限,需要注意的是分段函数需分段求路程,然后求和.重难聚焦2.如何求变力做功?剖析(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力F的表达式,这是求功的关键.(2)由功的物理意义,已知物体在变力F(x)的作用下,沿力F(x)的方向做直线运动,使物体从x=a移到x=b(ab).因此,求功之前还应求出物体移动的起始位置与终止位置.(3)根据变力做功公式W=𝑏𝑎𝐹(x)dx即可求出变力F(x)所做的功.典例透析题型一题型二题型三求变速直线运动的路程、位移【例1】有一动点P沿x轴运动,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求:(1)点P从原点出发,当t=6时,求点P离开原点的路程和位移;(2)点P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值.分析:(1)解不等式v(t)≥0或v(t)≤0→确定积分区间→求t=6时的路程以及位移(2)求定积分𝑡0𝑣(t)dt→令𝑡0𝑣(t)dt=0,求t典例透析题型一题型二题型三解:(1)由v(t)=8t-2t2≥0,得0≤t≤4,即当0≤t≤4时,点P向x轴正方向运动,当t4时,点P向x轴负方向运动.故当t=6时,点P离开原点的路程为𝑆1=40(8t-2t2)dt−64(8t-2t2)dt=4𝑡2-23𝑡3|04−4𝑡2-23𝑡3|46=1283.当t=6时,点P的位移为60(8t-2t2)dt=4𝑡2-23𝑡3|06=0.(2)依题意𝑡0(8t-2t2)dt=0,即4𝑡2−23𝑡3=0,解得t=0或t=6,t=0对应于点P刚开始从原点出发的情况.故t=6是所求的值.典例透析题型一题型二题型三反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.如本例第(1)小题求解时,易出现路程和位移相同的错误.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+𝑡(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5B.8+25ln113C.4+25ln5D.4+50ln2解析:由于v(t)=7-3t+251+𝑡,且汽车停止时速度为0,因此由v(t)=0可解得t=4,即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离s=407-3𝑡+251+𝑡dt=7𝑡-3𝑡22+25ln(𝑡+1)|04=(4+25ln5)(m).答案:C典例透析题型一题型二题型三求变力所做的功【例2】设有一长为25cm的弹簧,若加以100N的力,则弹簧伸长到30cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求将弹簧由25cm伸长到40cm时拉力所做的功.分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力F(x)的解析式,然后用积分求变力所做的功.解:设x表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力(单位:N).由题意,得F(x)=kx,且当x=0.05m时,F(0.05)=100,即0.05k=100,所以k=2000.所以F(x)=2000x.故将弹簧由25cm伸长到40cm时拉力所做的功为W=0.1502000xdx=1000x2|00.15=22.5(J).典例透析题型一题型二题型三反思解决变力做功注意以下两个方面:(1)将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的一步.(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】如图,在某一温度下,直径为0.2m,高为0.8m,上端为活塞的圆柱体内某气体的压强P(单位:N/m2)与体积V(单位:m3)的函数关系式为P=80𝑉,而正压力F(单位:N)与压强P(单位:N/m2)的函数关系为F=PS,其中S(单位:m2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半,活塞克服气体压力要做多少功?典例透析题型一题型二题型三解:设活塞运动的距离为xm,则活塞受到的压强为P=80𝑉=800.01π(0.8-𝑥).从而活塞受到的压力为F=PS=800.01π(0.8-𝑥)×0.01π=800.8-𝑥.因为温度保持不变,气体的体积缩小一半.所以活塞的位移为0.4m.活塞克服气体压力所做的功为W=0.40800.8-𝑥dx=[-80ln(0.8-x)]|00.4=80ln2(J).故活塞克服气体压力要做80ln2J的功.典例透析题型一题型二题型三利用定积分求解其他物理问题【例3】A,B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中的点C处,这一段速度为1.2tm/s,到C处的速度达24m/s.从C处到B站前的D处以等速行驶,从D处开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B处恰好停车.试求:(1)A,C间的距离;(2)B,D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间.典例透析题型一题型二题型三解:(1)设A到C经过t1s,由1.2t1=24,得t1=20,于是所求时间为20+280+20=320(s).反思本题是利用定积分解决物理问题,分清运动过程中的变化情况是解题的关键.所以AC=2001.2tdt=0.6𝑡2|020=240(m).(2)设从D→B经过t2s,由24-1.2t2=0,得t2=20,所以DB=200(24-1.2t)dt=240(m).(3)CD=7200-2×240=6720(m).从C到D的时间为𝑡3=672024=280.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】有一横截面面积为4cm2的水管控制往外流水,打开水管ts末的流速为v(t)=6t-t2(单位:cm/s)(0≤t≤6).试求从t=0s到t=6s这段时间内流出的水量.解:由题意可得,t=0s到t=6s这段时间流出的水量V=604(6t-t2)dt=460(6t-t2)dt=43𝑡2-13𝑡3|06=144(cm3).故从t=0s到t=6s这段时间内流出的水量为144cm3.典例透析