2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课件 新人教A版选修2-2

-1-1.6微积分基本定理目标导航1.了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.知识梳理1.微积分基本定理(1)定理内容:一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么𝑏𝑎𝑓(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.(2)符号表示:𝑏𝑎𝑓(x)dx=F(x)|𝑎𝑏=𝐹(b)-F(a).【做一做1-1】若F'(x)=x2,则F(x)的解析式不可能是()A.F(x)=13𝑥3B.F(x)=x3C.F(x)=13𝑥3+1D.F(x)=13𝑥3+C(C为常数)解析:对选项B,F'(x)=(x3)'=3x2,与已知F'(x)=x2矛盾;对选项A,C,D进行验证,可知均正确,故选B.答案:B知识梳理【做一做1-2】下列各式正确的是()A.𝑏𝑎𝐹′(x)dx=F'(b)-F'(a)B.𝑏𝑎𝐹′(x)dx=F'(a)-F'(b)C.𝑏𝑎𝐹′(x)dx=F(b)-F(a)D.𝑏𝑎𝐹′(x)dx=F(a)-F(b)解析:由微积分基本定理可知,选项C正确,选项A,B,D均错误.故选C.答案:C知识梳理2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,在x轴下方的面积为S下,则(1)当曲边梯形位于x轴上方时,如图①,则𝑏𝑎𝑓(x)dx=S上.(2)当曲边梯形位于x轴下方时,如图②,则𝑏𝑎𝑓(x)dx=-S下.知识梳理(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时,如图③,则𝑏𝑎𝑓(x)dx=S上-S下.若S上=S下,则𝑏𝑎𝑓(x)dx=0.③知识梳理【做一做2】如图,f(x)在区间[a,b]上的值一部分大于0,另一部分小于0,且各部分的面积分别为A1,A2,A3,A4,则𝑏𝑎𝑓(x)dx=.解析:由定积分和曲边梯形面积的关系可知𝑏𝑎𝑓(x)dx=A1-A2+A3-A4.答案:A1-A2+A3-A4重难聚焦如何理解微积分基本定理?剖析1.微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法.2.利用微积分基本定理计算定积分𝑏𝑎𝑓(x)dx的关键是找到使F'(x)=f(x)成立的F(x),通常是逆向考虑基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则,求出F(x).这个过程与求导运算互为逆运算,为避免出错,在求出F(x)后,可利用F'(x)=f(x)对F(x)进行求导验证.3.F(b)-F(a)可记成F(x)|𝑎𝑏,即𝑏𝑎𝑓(x)dx=F(x)|𝑎𝑏=𝐹(b)-F(a).典例透析题型一题型二题型三题型四利用微积分基本定理计算定积分【例1】计算下列定积分:(1)21(x2+2x+3)dx;(2)0-π(cosx-ex)dx;(3)π20sin2𝑥2dx;(4)94𝑥(1+𝑥)dx.分析:第(1)(2)小题属简单函数的定积分,利用微积分基本定理求解即可;而第(3)(4)小题属较复杂函数的定积分,可按如下步骤进行计算:化简被积函数→转化为基本函数的定积分→求定积分典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)21(x2+2x+3)dx=21𝑥2dx+212xdx+213dx=𝑥33|12+𝑥2|12+3𝑥|12=253.(2)0-π(cosx-ex)dx=0-πcosxdx−0-πexdx=sin𝑥|-π0−e𝑥|-π0=1eπ−1.(3)π20sin2𝑥2dx=π2012(1-cosx)dx=12π20(1-cosx)dx=12π201dx−12π20cosxdx=𝑥2|0π2−sin𝑥2|0π2=π-24.(4)94𝑥(1+𝑥)dx=94(𝑥+𝑥)dx=94𝑥12dx+94𝑥dx=23𝑥32|49+12𝑥2|49=2716.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求函数f(x)在某个区间上的定积分时,要注意:(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差.(2)准确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】计算下列定积分:(1)20𝑥dx;(2)1-2(1-t3)dt;(3)321-𝑥𝑥2dx.解:(1)∵12𝑥2′=𝑥,∴20𝑥dx=12𝑥2|02=2-0=2.(2)∵𝑡-14𝑡4′=1-t3,∴1-2(1-t3)dt=𝑡-14𝑡4|-21=1-14−-2-14×(-2)4=274.(3)∵-1𝑥-ln𝑥′=1𝑥2−1𝑥=1-𝑥𝑥2,∴321-𝑥𝑥2dx=-1𝑥-ln𝑥|23=-13-ln3−-12-ln2=16+ln23.典例透析题型一题型二题型三题型四求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分:(1)π2-1𝑓(x)dx,其中f(x)=𝑥2,𝑥≤0,cos𝑥-1,𝑥0;(2)30|𝑥2-4|dx;(3)20(|x-1|+|x-3|)dx.分析:解答本题第(1)小题,可按f(x)的分段标准及积分区间将其化为两段积分的和;解答第(2)(3)小题,可根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)因为f(x)=𝑥2,𝑥≤0,cos𝑥-1,𝑥0,所以π2-1𝑓(x)dx=0-1𝑓(x)dx+π20𝑓(x)dx=0-1𝑥2dx+π20(cosx-1)dx=13𝑥3|-10+(sinx-x)|0π2=13+1-π2=43−π2.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)因为|x2-4|=𝑥2-4,𝑥≤-2或𝑥≥2,4-𝑥2,-2𝑥2,所以30|𝑥2-4|dx=20|𝑥2-4|dx+32|𝑥2-4|dx=20(4-x2)dx+32(x2-4)dx=4𝑥-13𝑥3|02+13𝑥3-4𝑥|23=8-83+273-12-83-8=233.典例透析题型一题型二题型三题型四(3)因为|x-1|=𝑥-1,𝑥≥1,1-𝑥,𝑥1,|x-3|=𝑥-3,𝑥≥3,3-𝑥,𝑥3,所以20(|x-1|+|x-3|)dx=20|𝑥−1|dx+20|𝑥−3|dx=10|𝑥−1|dx+21|𝑥−1|dx+20|𝑥−3|dx=10(1-x)dx+21(x-1)dx+20(3-x)dx=𝑥-12𝑥2|01+12𝑥2-𝑥|12+3𝑥-12𝑥2|02=12+12+4=5.典例透析题型一题型二题型三题型四反思在求分段函数的定积分时,可利用定积分的性质将其表示为几个定积分和的形式;对于被积函数中带绝对值的解析式,先根据绝对值的意义找到分界点,去掉绝对值号,化为分段函数再求解.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求20|𝑥2-1|dx的值.解:∵当x∈[0,2]时,|x2-1|=1-𝑥2,𝑥∈[0,1),𝑥2-1,𝑥∈[1,2],∴20|𝑥2-1|dx=10|𝑥2-1|dx+21|𝑥2-1|dx=10(1-x2)dx+21(x2-1)dx=𝑥-𝑥33|01+𝑥33-𝑥|12=1−13+83−2−13+1=2.典例透析题型一题型二题型三题型四定积分的应用【例3】已知1-1(x3+ax+3a-b)dx=2a+6,且f(t)=𝑡0(x3+ax+3a-b)dx为偶函数,求a,b的值.分析:利用微积分基本定理、定积分的性质,结合偶函数的性质建立关于a,b的方程组求解.典例透析题型一题型二题型三题型四解:∵f(x)=x3+ax为奇函数,∴1-1(x3+ax)dx=0.∴1-1(x3+ax+3a-b)dx=1-1(x3+ax)dx+1-1(3a-b)dx=0+(3a-b)[1-(-1)]=6a-2b.∴6a-2b=2a+6,即2a-b=3.①又f(t)=𝑥44+𝑎2𝑥2+(3𝑎-𝑏)𝑥|0𝑡=𝑡44+𝑎𝑡22+(3a-b)t为偶函数,∴3a-b=0.②由①②,得a=-3,b=-9.典例透析题型一题型二题型三题型四反思定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系,可以通过定积分构造新的函数,进而可利用该函数的性质求参数的值.也可对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中通常应用转化的思想方法.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知f(a)=10(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解:∵f(a)=10(2ax2-a2x)dx=23𝑎𝑥3-12𝑎2𝑥2|01=23𝑎−12𝑎2,∴f(a)=−12𝑎2+23𝑎=−12𝑎-232+29.∴当a=23时,f(a)取得最大值29.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:误把面积当成定积分而致错【例4】求曲线y=sinx与直线x=−π2,x=5π4,y=0所围成图形的面积S.错解由条件知所求面积为S=5π4-π2sinxdx=-cos𝑥|-π25π4=22.错因分析如图所示,在区间-π2,0和π,5π4上,定积分的值为负,所以①③部分的面积应为相应定积分的相反数,上述错解所求的是①②③部分积分值的代数和,而不是①②③部分的面积的和.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:S=5π4-π2|sinx|dx=−0-π2sinxdx+π0sinxdx−5π4πsinxdx=cos𝑥|-π20−cos𝑥|π0+cos𝑥|π5π4=1+2+-22+1=4−22.反思由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和.典例透析