2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念课件 新人教A版选修2-2

-1-1.5.3定积分的概念目标导航1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质.知识梳理一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0x1…xi-1xi…xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式∑𝑖=1𝑛𝑓(ξi)Δx=∑i=1n𝑏-𝑎𝑛𝑓(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作𝑏𝑎𝑓(x)dx,即𝑏𝑎𝑓(x)dx=lim𝑛→∞∑𝑖=1𝑛𝑏-𝑎𝑛𝑓(ξi),这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.1.定积分的概念知识梳理【做一做1】在定积分的概念中,定积分𝑏𝑎𝑓(x)dx的大小()A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故选A.答案:A知识梳理2.定积分的几何意义如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分𝑏𝑎𝑓(x)dx表示由直线x=a,x=b,y=0与曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.【做一做2】用定积分表示如图所示的阴影部分的面积S=.(不要求计算)答案:2-4𝑥22dx知识梳理3.定积分的基本性质(1)𝑏𝑎𝑘𝑓(x)dx=𝑘𝑏𝑎𝑓(x)dx(k为常数);(2)𝑏𝑎[f1(x)±f2(x)]dx=𝑏𝑎𝑓1(x)dx±𝑏𝑎𝑓2(x)dx;(3)𝑏𝑎𝑓(x)dx=𝑐𝑎𝑓(x)dx+𝑏𝑐𝑓(x)dx(其中acb).知识梳理【做一做3】下列等式不成立的是()解析:利用定积分的性质进行判断,选项C不成立.A.𝑏𝑎[mf(x)+ng(x)]dx=𝑚𝑏𝑎𝑓(x)dx+𝑛𝑏𝑎𝑔(x)dxB.𝑏𝑎[f(x)+1]dx=𝑏𝑎𝑓(x)dx+b-aC.𝑏𝑎𝑓(x)g(x)dx=𝑏𝑎𝑓(x)dx·𝑏𝑎𝑔(x)dxD.2π-2πsinxdx=0-2πsinxdx+2π0sinxdx例如10𝑥dx=12,10𝑥2dx=13,10𝑥3dx=14.但10𝑥3dx≠10𝑥dx·10𝑥2dx,故选C.答案:C重难聚焦如何正确认识定积分的概念?剖析(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即𝑏𝑎𝑓(x)dx=𝑏𝑎𝑓(u)du=𝑏𝑎𝑓(t)dt=…(称为积分形式的不变性),另外定积分𝑏𝑎𝑓(x)dx的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,所得的值可能也不同,例如10(x2+1)dx与30(x2+1)dx的值就不同.(2)定积分就是和的极限lim𝑛→∞∑i=1n𝑓(ξi)·Δx,而𝑏𝑎𝑓(x)dx只是这种极限的一种记号.典例透析题型一题型二利用定义计算定积分【例1】利用定积分的定义,计算21(3x+2)dx的值.分析:将区间[1,2]等分为n个小区间,利用函数在每个小区间上的左端点值求出Sn,其极限即为所求.解:令f(x)=3x+2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成n个小区间𝑛+𝑖-1𝑛,𝑛+𝑖𝑛(i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=𝑛+𝑖𝑛−𝑛+𝑖-1𝑛=1𝑛.典例透析题型一题型二(2)近似代替、求和取ξi=𝑛+𝑖-1𝑛(i=1,2,…,n),则Sn=∑𝑖=1𝑛𝑓n+i-1n·Δx=∑i=1n3(𝑛+𝑖-1)𝑛+2·1𝑛=∑𝑖=1𝑛3(𝑖-1)𝑛2+5𝑛=3𝑛2[0+1+2+…+(n-1)]+5=32·𝑛2-𝑛𝑛2+5=132−32𝑛.(3)取极限21(3x+2)dx=lim𝑛→∞𝑆𝑛=lim𝑛→∞132-32𝑛=132.反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条理性更强.典例透析题型一题型二【变式训练1】在等分区间的情况下,f(x)=11+𝑥2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.lim𝑛→∞∑i=1n11+𝑖𝑛2·2𝑛B.lim𝑛→∞∑𝑖=1𝑛11+2𝑖𝑛2·2𝑛C.lim𝑛→∞∑𝑖=1𝑛11+𝑖2·1𝑛D.lim𝑛→∞∑𝑖=1𝑛11+𝑖𝑛2·𝑛解析:将区间n等分后,每个小区间的长度为Δx=2𝑛,第i个小区间为2(𝑖-1)𝑛,2𝑖𝑛(i=1,2,…,n),则由求曲边梯形的面积的步骤可得所求曲边梯形面积和式的极限形式应为lim𝑛→∞∑i=1n11+2𝑖𝑛2·2𝑛.答案:B典例透析题型一题型二利用定积分的几何意义求定积分【例2】说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分的值:(1)102dx;(2)21𝑥dx;(3)1-11-𝑥2dx.分析:利用定积分的几何意义,当f(x)≥0时,图形的面积即为定积分的值.解:(1)102dx表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积,因为这个长方形的面积为2,所以102dx=2.①典例透析题型一题型二(2)21𝑥dx表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积,因为这个梯形的面积为32,所以21𝑥dx=32.②典例透析题型一题型二(3)1-11-𝑥2dx表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积,其值为π2,所以1-11-𝑥2dx=π2.③反思利用定积分的几何意义求𝑏𝑎𝑓(x)dx的值的关键是确定由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.典例透析题型一题型二【变式训练2】用定积分的几何意义求下列各式的值:(1)1-14-𝑥2dx;(2)π25π2(1+sinx)dx.解:(1)由y=4-𝑥2,可知x2+y2=4(y≥0),如图所示,所以1-14-𝑥2dx等于圆心角为π3的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和.因为S弓形=12×π3×22−12×2×2sinπ3=2π3−3,S矩形=AB·BC=23,所以1-14-𝑥2dx=23+2π3−3=2π3+3.典例透析题型一题型二(2)函数y=1+sinx的图象如图所示,所以π25π2(1+sinx)dx=2S矩形ABCD=2π.典例透析