2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修2-2

-1-1.4生活中的优化问题举例目标导航1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决某些实际问题的方法,能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识梳理1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.2.利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值.3.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用可导函数求最值的方法求最值.4.解决优化问题的基本思路.上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.知识梳理【做一做】电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13𝑥3−392𝑥2-40x(x0),为使耗电量最少,则其速度应定为.解析:由题设知y'=x2-39x-40,令y'0,解得x40或x-1,即函数y=13𝑥3−392𝑥2-40x(x0)在[40,+∞)内单调递增,在(0,40]上单调递减.所以当x=40时,y取得最小值.由此为使耗电量最小,则其速度应定为40.答案:40重难聚焦1.如何认识和理解解应用题的解题思路和方法?剖析解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论,然后把数学结论返回到实际问题中去,其思路如下:重难聚焦其方法如下:(1)审题:阅读并理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;(4)对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的判断,确定其答案.重难聚焦2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么?剖析利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:重难聚焦名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以确定这就是最大(小)值.3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定函数关系中自变量的取值区间.典例透析题型一题型二题型三题型四面积、容积最值问题【例1】用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器的底面的一条边比另一条边长0.5m,那么当高为多少时,容器的容积最大?并求它的最大容积.分析:设底面的一条边长为xm,用x表示另一条边长和高,从而表示出容积,利用对容积函数求导来求最值.典例透析题型一题型二题型三题型四解:设容器底面的一条边长为xm,则另一条边长为(x+0.5)m,高为14.8-4𝑥-4(𝑥+0.5)4=(3.2-2x)m.由3.2-2𝑥0,𝑥0,解得0x1.6.设容器的容积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,所以y'=-6x2+4.4x+1.6.令y'=0,则15x2-11x-4=0,解得x1=1,x2=−415(舍去).在定义域(0,1.6)内,只有x=1使y'=0,且x=1是函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点.典例透析题型一题型二题型三题型四因此,当x=1时,y取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为3.2-2×1=1.2(m).故当高为1.2m时,容器的容积最大,最大容积为1.8m3.反思解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度均为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),才能使矩形广告的面积最小?典例透析题型一题型二题型三题型四解:设矩形广告的高和宽分别为xcm、ycm,面积为Scm2.则每栏的高和宽分别为(x-20)cm、𝑦-252cm,其中x20,y25.由两栏的面积之和为2(x-20)·𝑦-252=18000,得y=18000𝑥-20+25.广告的面积S=xy=𝑥18000𝑥-20+25=18000𝑥𝑥-20+25x.所以S'=18000[(𝑥-20)-𝑥](𝑥-20)2+25=-360000(𝑥-20)2+25.令S'0,得x140,令S'0,得20x140.所以函数在区间(140,+∞)内单调递增,在区间(20,140)内单调递减.所以当x=140时,S取得最小值.当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24500.故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使矩形广告的面积最小.典例透析题型一题型二题型三题型四成本最低(费用最省)问题【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=𝑘3𝑥+5(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的解析式;(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)隔热层厚度为xcm,由题意知每年能源消耗费用为C(x)=𝑘3𝑥+5,再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=403𝑥+5.而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=C1(x)+20C(x)=6x+20·403𝑥+5=6x+8003𝑥+5(0≤x≤10).(2)f'(x)=6−2400(3𝑥+5)2,令f'(x)=0,即2400(3𝑥+5)2=6,解得x1=5,x2=−253(舍去).当0≤x5时,f'(x)0;当5x≤10时,f'(x)0.故x=5是f(x)的最小值点,最小值为f(5)=6×5+80015+5=70(万元).典例透析题型一题型二题型三题型四故当隔热层修建5cm厚时,总费用f(x)达到最小,且最小值为70万元.反思选取合适的量为自变量,并确定其取值范围.正确列出函数解析式,利用导数求最值,其中正确列出函数解析式是解题的关键.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶的过程中,每小时耗油量y(单位:L)关于行驶速度x(单位:km/h)的函数解析式可以表示为y=1128000𝑥3−380𝑥+8(0x≤120).已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?解:(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5(h),要耗油1128000×403-380×40+8×2.5=17.5(L).所以,当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5L.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)当速度为xkm/h时,汽车从甲地到乙地行驶了100𝑥h,设耗油量为h(x)L,依题意,得h(x)=1128000𝑥3-380𝑥+8·100𝑥=11280𝑥2+800𝑥−154(0x≤120),h'(x)=𝑥640−800𝑥2=𝑥3-803640𝑥2(0x≤120).令h'(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h'(x)0,h(x)是增函数,所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在区间(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.故当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25L.典例透析题型一题型二题型三题型四利润最大问题【例3】某工厂某种产品的年产量为1000x吨,其中x∈[20,100],需要投入的成本为C(x)(单位:万元),当x∈[20,80]时,C(x)=12𝑥2-30x+500;当x∈(80,100]时,C(x)=20000𝑥.若每吨产品的售价为ln𝑥𝑥万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于x的函数关系式;(2)当年产量为多少吨时,该厂所获利润最大?分析:因为需要投入的成本与x的取值范围有关,所以应该用分段函数表示年利润,然后利用导数分段求解,求得最大值.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)由题意,知L(x)=1000x·ln𝑥𝑥−𝐶(x)=1000ln𝑥-12𝑥2-30𝑥+500,𝑥∈[20,80],1000ln𝑥-20000𝑥,𝑥∈(80,100].(2)当x∈[20,80]时,L'(x)=−(𝑥-50)(𝑥+20)𝑥,∴L(x)在区间[20,50)内单调递增,在区间[50,80)内单调递减,∴当x=50时,L(x)max=1000ln50-250;当x∈(80,100]时,L(x)=1000lnx−20000𝑥单调递增,∴L(x)max=L(100)=1000ln100-2000.∵1000ln50-250-(1000ln100-2000)=1750-1000ln21750-10000,∴当x=50,即年产量为50000吨时,该厂所获利润最大,最大利润为(1000ln50-250)万元.典例透析题型一题型二题型三题型四反思利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,利用导数求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:(1)利润(收益)=收入-成本;(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(单位:吨)与每吨产品的价格p(单位:元/吨)之间的关系为p=24200−15𝑥2,且生产x吨该产品的成本为(50000+200x)元.则每月生产吨产品才能使利润达到最大,最大利润是元.(利润=收入-成本)解析:依题意,得利润f(x)=24200-15𝑥2𝑥−(50000+200x)=−15𝑥3+24000x-50000,所以f'(x)=−35𝑥2+24000,令f'(x)=0,得x=200.当0x200时,f'(x)0;当x200时,f'(x)0,故f(x)在x=200时取得极大值亦即最大值,f(200)=3150000,故当月产量为200吨时,最大利润为3150000元.答案:2003150000典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:忽略实际问题中的定义域而致错【例4】甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(1)把全程运输成本y表示为速度v的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?典例透析题型一题型二题型三题型四错解(1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为𝑠𝑣,全程运输成本为y=a·𝑠𝑣+𝑏𝑣2·𝑠𝑣=𝑠𝑎𝑣+𝑏𝑣,所求函数为y=𝑠𝑎𝑣+𝑏𝑣,定义域为(0,c].(2)由题意知s,a,b,v均为正数,由y'=𝑠𝑏-𝑎�