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当前位置:首页 > 临时分类 > 中考综合题:菱形60度角的应用
菱形60度角的应用在初中数学四边形学习内容里,一般会学到四边形、平行四边形、梯形、矩形、菱在中考数学中,菱形会与其他知识内容相结合,紧密联系在一起,形成更为复杂的综合问题。因此,在平时数学学习过程中,一定要把菱形相关知识内容认真掌握,吃透每一个知识点,这样即使遇到更为复杂的问题,我们都不用怕。形、正方形等相关知识内容。今天我们一起来讲讲中考数学是如何去考查菱形。1.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.图①图②图③图④第22题图(1)如图①,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图②,图③中的一种情况予以证明或说理);(3)如图④,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.解:(1)如图①中,结论:PB=EC,CE⊥AD.理由:连接AC.第22题解图①∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,∵△APE是等边三角形,∴AB=AC,AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°,∴△BAP≌△CAE,∴BP=CE,∠BAP=∠ACE=30°,延长CE交AD于H,∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.故答案为PB=EC,CE⊥AD.(2)结论仍然成立.图②图③第22题解图理由:选图②,连接AC交BD于O,设CE交AD于H.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,∵△APE是等边三角形,∴AB=AC,AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°,∴△BAP≌△CAE,∴BP=CE,∠BAP=∠ACE=30°,∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.如图③,连接AC交BD于O,设CE交AD于H.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,∵△APE是等边三角形,∴AB=AC,AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°,∴△BAP≌△CAE,∴BP=CE,∠BAP=∠ACE=30°,∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.(3)如解图④,连接AC交BD于点O,连接CE交AD于点H,第22题解图④由(2)可知,CE⊥AD,CE=BP,在菱形ABCD中AD∥BC,∴EC⊥BC,∵BC=AB=23,BE=219,∴在Rt△BCE中,CE=(219)2-(23)2=8,∴BP=CE=8,∵AC与BD是菱形的对角线,∴∠ABD=12∠ABC=30°,AC⊥BD,∴BD=2BO=2AB·cos30°=6,AO=12AB=3,DP=BP-BD=8-6=2,∴OP=OD+DP=5,在Rt△AOP中,AP=AO2+OP2=27,S四边形ADPE=S△ADP+S正△APE=12DP·AO+34·AP2=12×2×3+34×(27)2=83.2.在图①,②,③中,已知▱ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.(1)如图①,当点E与点B重合时,∠CEF=________°;(2)如图②,连接AF.①填空:∠FAD________∠EAB(填“>”,“<”,“=”);②求证:点F在∠ABC的平分线上;(3)如图③,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求BCAB的值.第22题图2.解:(1)60;(2)①=;②证明:如解图①,当BE>AB时,过点F作FN⊥BC于点N,FM⊥AB交BA的延长线于点M.在四边形FMBN中,∠FMB=∠FNB=90°,∠B=120°,第22题解图①∴∠MFN=60°.又∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,∴AF平分∠EAG,AE=EF.∴∠FAE=60°,△AEF是等边三角形.∴∠AFE=60°.∴∠MFN-∠AFN=∠AFE-∠AFN.即∠MFA=∠NFE.在△FMA和△FNE中,∠FMA=∠FNE,∠MFA=∠NFE,FA=FE,∴△FMA≌△FNE(AAS).∴FM=FN.∴点F在∠ABC的平分线上;如解图②,当BE=AB时,第22题解图②∵∠ABC=120°,∴∠EAB=∠AEB=30°.∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,∴∠FAE=∠FEA=60°,AE=EF.∴△AEF为等边三角形,∠FAB=∠FEB=90°.∴AF=EF.∴点F在∠ABC的平分线上;当BE<AB时,类似地,可证点F在∠ABC的平分线上.特别地当点E与点B重合时,点F在∠ABC的平分线上.综上所述,点F在∠ABC的平分线上;(3)如解图④,∵四边形AEGH和四边形AEFG都是平行四边形,∴AE∥HG,AE∥GF.∴HG和GF重合.第22题解图④又∵GE是菱形AEFG的对角线,∠EAG=120°,∴GE平分∠DGA,∠DGA=60°,∴∠FGE=12∠FGA=30°.又∵GE∥HB,∴∠H=∠FGE=30°.在△ADH中,∵∠DAB=60°,∴∠ADH=30°.∴AH=AD.在△GAD中,∵∠ADG=30°,∠DGA=60°,∴∠DAG=90°,∠H=∠GAH=30°.∴GD=2AG,HG=AG.∴HDAE=3.∵四边形AEFG是菱形,∴AG=AE,AE∥HD.∴∠H=∠EAB=30°.∴∠AEB=30°.∴AB=EB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠B=∠DAH.∴△AHD∽△BAE,∴ADBE=HDAE=3.即BCAB=3,3如图,菱形的边长为1,,点是边上任意一点(端点除外),线段的垂直平分线交,分别于点,,,的中点分别为,.(1)求证:;(2)求的最小值;ABCD60ABCEABCEBDCEFGAEEFMNAFEFMNNG(3)当点在上运动时,的大小是否变化?为什么?解:(1)连接,垂直平分,,四边形为菱形,和关于对角线对称,,;(2)连接,和分别是和的中点,点为中点,,,即,当点与菱形对角线交点重合时,最小,即此时最小,菱形边长为1,,为等边三角形,,即的最小值为;EABCEFCFFGCECFEFABCDACBDCFAFAFEFACMNAEEFGCE12MNAF12NGCF1()2MNNGAFCFFABCDOAFCFMNNGABCD60ABCABC1ACABMNNG12(3)不变,理由是:延长,交于,,,,点在菱形对角线上,根据菱形的对称性可得:,,,,,,,,为定值.EFDCHCFHFCEFECAFHFAEFEAAFCFCEFECFAEFEAFABCDBD12AFDCFDAFCAFCFEFAEFEAFFECFCEAFDFAEABFFAECEFABFCEF60ABC30ABFCEF
本文标题:中考综合题:菱形60度角的应用
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