2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修2-2

-1-1.1.3导数的几何意义目标导航1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.知识梳理1.导数的几何意义(1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然,割线PPn的斜率是kn=𝑓(𝑥𝑛)-𝑓(𝑥0)𝑥𝑛-𝑥0.当点Pn无限趋近于点P时,kn无限趋近于切线PT的斜率.知识梳理(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,也就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率k=limΔ𝑥→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x=𝑓′(x0),相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).知识梳理名师点拨如图,函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是割线PQ的斜率,当点Q沿曲线y=f(x)趋近于点P时(即Δx趋近于0),割线PQ绕点P转动,它的最终位置为曲线在点P处的切线位置——直线PT.即k=f'(x0)=limΔ𝑥→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x.因此,函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.知识梳理【做一做1-1】若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交解析:由导数的几何意义知,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,故选B.答案:B【做一做1-2】如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么()A.f'(x0)0B.f'(x0)0C.f'(x0)=0D.f'(x0)不存在解析:根据导数的几何意义,知f(x)在x=x0处的导数就是f(x)在x=x0处的切线的斜率,所以f'(x0)=−120.故选B.答案:B知识梳理2.导函数从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=limΔ𝑥→0f(x+𝛥x)-f(x)𝛥x.知识梳理【做一做2-1】函数在某一点处的导数是()A.在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点与它附近一点之间的平均变化率解析:根据函数在一点处的导数的定义,可知选C.答案:C【做一做2-2】若曲线f(x)的导函数为f'(x)=2x+3,则f'(3)等于()A.0B.2C.3D.9解析:f'(3)=2×3+3=9.答案:D重难聚焦1.求切线方程的步骤.剖析(1)求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程的步骤:①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0);②根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点坐标为(x1,y1),由𝑦1=𝑓(𝑥1),𝑦0-𝑦1=𝑓'(𝑥1)(𝑥0-𝑥1)解出x1,进而确定过点P的切线方程为y-y0=f'(x1)(x-x0),再化为一般式即可.特别地,若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,则此时导数f'(x0)不存在.由切线的定义可知,切线方程为x=x0.注意:若f'(x0)0,则切线与x轴正方向的夹角是锐角;若f'(x0)0,则切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重合.重难聚焦2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的直线是切线”的区别是什么?剖析在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时,我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切线:当直线和曲线有唯一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,这种推广是不妥当的.观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,但我们不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一般的曲线,必须重新寻求曲线切线的定义.重难聚焦3.如何区分f'(x0)与f'(x)?剖析对于一个确定的函数f(x)=x2,我们可以求出f(x)在x=0,x=1,x=3,x=4处的导数,即f'(0),f'(1),f'(3),f'(4).如:同理可得f'(1)=2,f'(3)=6,f'(4)=8,f'(x0)=2x0.我们会发现对于一个确定的自变量值x0,f'(x0)也是确定的值.因此,我们可以得到对于函数y=f(x),当x变化时,f'(x)是关于x的一个函数.需注意f'(x0)与f'(x)的意义不同,f'(x)为f(x)的导函数,而f'(x0)为f(x)在x=x0处的导函数值.∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=𝑥0+Δ𝑥2−𝑥02=(Δx)2+2x0·Δx,Δ𝑦Δ𝑥=(Δ𝑥)2+2Δ𝑥·𝑥0Δ𝑥=Δx+2x0,∴f'(0)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(Δx+2×0)=0.重难聚焦区别联系f'(x0)f'(x0)是具体的数值在x=x0处的导数f'(x0)是导函数f'(x)在x=x0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这一点处的函数值f'(x)f'(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数典例透析题型一题型二题型三题型四求曲线的切线方程【例1】已知曲线C:y=13𝑥3+43.(1)求在曲线C上横坐标为2的点处的切线方程.(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?分析:解答第(1)小题,可先求出切点坐标及斜率,再利用直线的点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.典例透析题型一题型二题型三题型四∴y'|x=2=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→013(2+Δ𝑥)3+43-13×23-43Δ𝑥=limΔ𝑥→04+2·Δ𝑥+13(Δ𝑥)2=4.∴k=y'|x=2=4.∴曲线C在点(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)由𝑦=4𝑥-4,𝑦=13𝑥3+43,得(x-2)(x2+2x-8)=0,解得x1=2,x2=-4.从而求得公共点的坐标为(2,4)或(-4,-20).故切线与曲线C的公共点除了切点外,还有其他的公共点.典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.解决这类题,先求出函数y=f(x)在已知点处的导数即曲线在该点处切线的斜率,再由直线的点斜式方程便可求出切线方程.2.导数的几何意义中所说的点应在曲线上,否则函数在该点处的导数不是斜率.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知曲线C:f(x)=2x2+1,求过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程.解:设切点P0(x0,y0),则f'(x0)=limΔ𝑥→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→02(𝑥0+Δ𝑥)2+1-(2𝑥02+1)Δ𝑥=limΔ𝑥→0(4x0+2Δx)=4x0.故曲线C在点P0处的切线l的方程为y-y0=4x0(x-x0),即l:y-y0=4x0x-4x02.∵点P0在曲线C上,∴y0=2x02+1,∴y-2x02−1=4x0x-4x02.∵切线l过点P(0,0),∴-2x02−1=-4x02,即2x02=1,∴x0=±22.典例透析题型一题型二题型三题型四当x0=−22时,切线l的方程为y-2-222−1=4×-22𝑥−4-222,即y=-22𝑥;当x0=22时,切线l的方程为y-2222−1=4×22𝑥−4222,即y=22𝑥.故过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程为y=-22𝑥或y=22𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四求切点坐标【例2】已知曲线y=f(x)=3x2+7,在曲线上求一点,使其分别满足下列条件:(1)在该点处的切线的倾斜角为45°;(2)在该点处的切线平行于直线6x-y-2=0;(3)在该点处的切线垂直于直线x+12y-3=0.分析:设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标典例透析题型一题型二题型三题型四解:设所求点的坐标为(x0,y0),则Δy=3(x0+Δx)2+7-3𝑥02−7=6x0·Δx+3(Δx)2.所以Δ𝑦Δ𝑥=6x0+3Δx.所以f'(x0)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(6x0+3Δx)=6x0.(1)因为切线的倾斜角为45°,所以切线斜率为tan45°=1,即f'(x0)=6x0=1,得x0=16.所以该点的坐标为16,8512.(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1.所以该点的坐标为(1,10).典例透析题型一题型二题型三题型四(3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直,所以切线的斜率为12,即f'(x0)=6x0=12,得x0=2.所以该点的坐标为(2,19).反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息可知函数在所求点处的导数,进而可求得此点的横坐标.具体的解题步骤为:(1)设切点坐标为(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率;(4)由斜率与导数间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)切点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入曲线方程求得切点坐标.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求曲线f(x)=x3在哪一点处的切线:(1)平行于直线y=3x-5?(2)垂直于直线x+6y+5=0?(3)倾斜角为45°?解:因为f(x)=x3,所以f'(x)=limΔ𝑥→0f(x+𝛥x)-f(x)𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(𝑥+Δ𝑥)3-𝑥3Δ𝑥=3x2.设P(x0,y0)是满足条件的点.(1)因为切线与直线y=3x-5平行,所以3𝑥02=3,x0=±1,即P(1,1)或(-1,-1)是满足条件的点.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)因为切线与直线x+6y+5=0垂直,所以3𝑥02·-16=−1,得x0=±2,即P(2,22)或(−2,-22)是满足条件的点.(3)因为切线的倾斜角为45°,所以其斜率为1,即3𝑥02=1,得x0=±33,即𝑃33,39或-33,-39是满足条件的点.典例透析题型一题型二题型三题型四导数几何意义的综合应用【例3】设曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处的两条切线的夹角为θ,求cosθ.分析:两条切线的夹角可转化为两切线方向向量的夹角,因此应先求出两曲线的交点,再用导数的几何意义求出两切线的斜率及方程得出方向向量,最后通过数量积求得cosθ的值.解:由f(x)=g(x),得x3-x2+x-1=0,即(x-1)(x2+1)=0,所以x=1,即两条曲线的交点坐标为(1,2).因为f'(1)=limΔ𝑥→0f(1+𝛥x)-f(1)𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(1+Δ𝑥)2+1-(12+1)Δ𝑥=2,所以曲线f(x)在交点处的切线l1的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.典例透析题型一题型二题型三题型四又因为g'(1)=limΔ𝑥→0𝑔(1+Δ𝑥)-𝑔(1)Δ𝑥=limΔ𝑥→0(1+Δ𝑥)3+(1+Δ𝑥)-(13+1)Δ𝑥=4,所以曲线g(x)在交点处的切线l2的方程为y-2=4(x-1),即y=4x-2.取切线l1的方向向量为a=(1,2),切线l2的方向向量为b=(1,4)