2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课件 新人教

-1-1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念目标导航1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识梳理1.函数的变化率定义作用平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1.习惯上用Δx表示x2-x1,Δy表示f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为𝛥y𝛥x刻画函数y=f(x)在区间[x1,x2]上变化的快慢瞬时变化率函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即𝑙𝑖𝑚𝛥x→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝛥y𝛥x刻画函数y=f(x)在x=x0附近变化的快慢知识梳理名师点拨关于平均变化率应注意以下几点:(1)Δx称为自变量的改变量,x1,x2是定义域内不同的两点,因此Δx≠0,但Δx可正也可负;Δy=f(x2)-f(x1)称为函数值的改变量,Δy的值可正可负,也可为零.因此,平均变化率可正可负,也可为零.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢,平均变化率的绝对值越大(小),函数在给定区间上的变化越快(慢).(2)在求函数的平均变化率时,当x1取定值,Δx取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当Δx取定值,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.知识梳理(3)平均变化率的几何意义:观察函数y=f(x)的图象(如图),我们可发现x2-x1=|AC|,f(x2)-f(x1)=|BC|,所以平均变化率𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1表示的是割线AB的斜率.(4)平均变化率的物理意义是:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在区间[t,t+Δt]上的平均变化率就是物体在t到t+Δt这段时间内的平均速率,即𝑣=Δ𝑠Δ𝑡.知识梳理【做一做1-1】函数y=1𝑥在区间[2,4]上的平均变化率等于.解析:平均变化率Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(4)-𝑓(2)4-2=14-124-2=−18.答案:−18【做一做1-2】若某质点的运动方程是s=4-2t2,则它在区间[1,1+Δt]上的平均速度为()A.2Δt+4B.-2Δt+4C.2Δt-4D.-2Δt-4解析:Δ𝑠Δ𝑡=4-2(1+Δ𝑡)2-4+2×12Δ𝑡=-4Δ𝑡-2(Δ𝑡)2Δ𝑡=−2Δt-4.答案:D知识梳理2.导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y′|𝑥=𝑥0,即f'(x0)=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.名师点拨关于导数应注意以下几点:(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋近于0,但永远不会为0.(2)若limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥存在,则称f(x)在x=x0处可导.(3)令x=x0+Δx,得Δx=x-x0,于是f'(x0)=lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)-𝑓(𝑥0)𝑥-𝑥0与概念中f'(x0)=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥的意义相同.知识梳理【做一做2】若函数y=f(x)在x=x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)=.解析:f'(x0)=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑎Δ𝑥+𝑏(Δ𝑥)2Δ𝑥=limΔ𝑥→0(a+bΔx)=a.答案:a重难聚焦1.如何理解瞬时变化率?剖析(1)瞬时变化率的实质是平均变化率在自变量的改变量趋近于0时的值,其作用是刻画函数在某一点处变化的快慢.(2)物体运动的路程与时间的关系式是s=s(t),当Δt趋近于0时,函数s(t)在t0到t0+Δt之间的平均变化率𝑠(𝑡0+Δ𝑡)-𝑠(𝑡0)Δ𝑡趋近于常数,这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度.重难聚焦2.如何理解导数的概念?剖析(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关;(3)导数是一个常数,而不是变量,其实质是一个极限值;(4)在利用导数概念求函数在某一点处的导数时,需要对Δ𝑦Δ𝑥取极限,这时一定要把Δ𝑦Δ𝑥变形到分母是一个非零常数的形式.变形的方法有约分、通分、分子或分母有理化等.典例透析题型一题型二题型三平均变化率的求法【例1】求y=f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=1,Δx=12时平均变化率的值.分析:解答本题要紧扣平均变化率的定义,先求自变量的改变量,再求函数值的改变量,最后代入公式求解.解:因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)2+1-(2𝑥02+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,所以函数f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为Δ𝑦Δ𝑥=4𝑥0·Δ𝑥+2(Δ𝑥)2Δ𝑥=4x0+2Δx.当x0=1,Δx=12时,平均变化率的值为4×1+2×12=5.典例透析题型一题型二题型三反思求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy,求平均变化率的主要步骤是:典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】已知函数y=f(x)=2x2+3x-5.(1)求当x1=4,Δx=1时,函数值的改变量Δy和平均变化率Δ𝑦Δ𝑥;(2)求当x1=4,Δx=0.1时,函数值的改变量Δy和平均变化率Δ𝑦Δ𝑥.解:∵f(x)=2x2+3x-5,∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2𝑥12+3x1-5)(1)当x1=4,Δx=1时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,故Δ𝑦Δ𝑥=211=21.(2)当x1=4,Δx=0.1时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92,故Δ𝑦Δ𝑥=1.920.1=19.2.典例透析题型一题型二题型三求函数在某点处的导数【例2】求函数y=f(x)=x−1𝑥在x=1处的导数.分析:根据函数在某一点处的导数的定义求解.解:∵Δy=(1+Δx)−11+Δ𝑥−1-11=Δx+1−11+Δ𝑥=Δx+Δ𝑥1+Δ𝑥,∴Δ𝑦Δ𝑥=Δ𝑥+Δ𝑥1+Δ𝑥Δ𝑥=1+11+Δ𝑥.∴limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→01+11+Δ𝑥=2,∴f'(1)=2.典例透析题型一题型二题型三反思由导数的定义,我们可以得到求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤:(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥;(3)取极限,得导数f'(x0)=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】求函数y=4𝑥2在x=2处的导数.解:∵Δy=4(Δ𝑥+2)2−422=4(Δ𝑥+2)2−1=−(Δ𝑥)2+4Δ𝑥(Δ𝑥+2)2,∴Δ𝑦Δ𝑥=−Δ𝑥+4(Δ𝑥+2)2.∴f'(2)=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=−limΔ𝑥→0Δ𝑥+4(Δ𝑥+2)2=−1.典例透析题型一题型二题型三函数变化率的应用【例3】已知某物体运动的方程如下(其中位移s的单位是m,时间t的单位是s):s=s(t)=3𝑡2+2,𝑡≥3,29+3(𝑡-3)2,0≤𝑡3.求:(1)物体在[3,5]这段时间内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.分析:先根据要求的问题选好使用的函数解析式,再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度.典例透析题型一题型二题型三解:(1)因为物体在[3,5]这段时间内时间的变化量为Δt=5-3=2,物体在[3,5]这段时间内位移的变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=48,所以物体在[3,5]这段时间内的平均速度为Δ𝑠Δ𝑡=482=24(m/s).(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.因为物体在t=0附近位移的平均变化率为Δ𝑠Δ𝑡=𝑠(0+Δ𝑡)-𝑠(0)Δ𝑡=29+3[(0+Δ𝑡)-3]2-29-3(0-3)2Δ𝑡=3Δt-18,所以物体在t=0处位移的瞬时变化率为limΔ𝑡→0Δ𝑠Δ𝑡=limΔ𝑡→0(3Δt-18)=-18,即物体的初速度v0为-18m/s.典例透析题型一题型二题型三(3)物体在t=1时的瞬时速度即为物体在t=1时位移的瞬时变化率.因为物体在t=1附近位移的平均变化率为Δ𝑠Δ𝑡=𝑠(1+Δ𝑡)-𝑠(1)Δ𝑡=29+3[(1+Δ𝑡)-3]2-29-3(1-3)2Δ𝑡=3Δt-12,所以物体在t=1时位移的瞬时变化率为limΔ𝑡→0Δ𝑠Δ𝑡=limΔ𝑡→0(3Δt-12)=-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12m/s.反思求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度,很容易误认为v0=0,有些函数解析式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】若以初速度v0(v00)垂直上抛的物体在t时刻的高度为s=v0t−12𝑔𝑡2,则物体在时刻t0处的瞬时速度为.解析:∵Δs=v0(t0+Δt)−12𝑔(𝑡0+Δ𝑡)2−𝑣0𝑡0-12𝑔𝑡02=(v0-gt0)Δt−12𝑔(Δt)2,∴Δ𝑠Δ𝑡=𝑣0-g𝑡0−12𝑔Δt.∴limΔ𝑡→0Δ𝑠Δ𝑡=𝑣0-gt0.答案:v0-gt0典例透析