2020版高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.1 不等式的基本性质课件 新人教A版选修4

-1-第一讲不等式和绝对值不等式-2-一不等式-3-1.不等式的基本性质目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.掌握不等式的基本性质.2.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1231.两个实数大小的比较(1)ab⇔a-b0;(2)a=b⇔a-b=0;(3)ab⇔a-b0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1232.不等式的基本性质(1)如果ab,那么ba;如果ba,那么ab,即ab⇔ba.(2)如果ab,bc,那么ac,即ab,bc⇒ac.(3)如果ab,那么a+cb+c.(4)如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acbc.(5)如果ab0,那么anbn(n∈N,n≥2).(6)如果ab0,那么𝑎n𝑏𝑛(𝑛∈N,n≥2).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1233.作差比较法(1)理论依据:a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.归纳总结1.0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.2.如果ab,cd,那么a+cb+d.3.如果ab0,cd0,那么acbd.4.如果ab0,且ab,那么1𝑎1𝑏.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做1】若ab,则下列不等式一定成立的是()C.-a-bD.a-b0答案：DA.𝑏𝑎1B.𝑎𝑏0目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做2】若a0,-1b0,则()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a解析：∵a0,-1b0,∴ab0,ab20,故排除A,B选项.又0b21,∴ab2a.故选D.答案：D知识梳理重难聚焦典例透析目标导航1231.使用不等式的性质时要注意的问题剖析：(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,bc⇒ac.(2)在乘法法则中,要特别注意乘数c,例如,当c≠0时,有ab⇒ac2bc2;若无c≠0这个条件,则ab⇒ac2bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).(3)ab0⇒anbn0成立的条件是“n为大于0的数”,如果去掉“n为大于0的数”这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就会出现3-12-1,即1312的错误结论.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航1232.不等式性质中的“⇒”和“⇔”表示的意思剖析：在不等式的性质中,条件和结论的逻辑关系有两种:“⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这就要求必须熟记与区别不同性质的条件.如aab,ab0⇒1𝑎1𝑏,而若1𝑎1𝑏,则可能有ab,ab0,也可能有a0b,即“ab,ab0”与“1𝑎1𝑏”是不可逆关系.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航1233.文字语言与数学符号语言之间的转换剖析：在数学命题中,文字语言的表述通常要“翻译”成相应的数学符号语言,只有准确地转换,才能正确地解答问题.文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多≤小于至少≥大于或等于≥不少于≥小于或等于≤不多于≤知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型一不等式的基本性质【例1】若a,b,c∈R,ab,则下列不等式成立的是()A.1𝑎1𝑏B.𝑎2𝑏2C.𝑎𝑐2+1𝑏𝑐2+1D.𝑎|𝑐|𝑏|𝑐|知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解析:本题只提供了“a,b,c∈R,ab”这个条件,而不等式的基本性质中,几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要根据本题的四个选项来进行判断.选项A,还需有ab0这个前提条件;选项B,当a,b都为负数时不成立,或一正一负时也可能不成立,如2-3,但22(-3)2不成立;选项C,1𝑐2+10,由ab就可知𝑎𝑐2+1𝑏𝑐2+1,故正确;选项D,当c=0时不成立.答案:C反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选择正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取0、正数、负数等.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】判断下列命题的真假,并简述理由.(1)若ab,cd,则acbd;(2)若ab0,cd0,则𝑎𝑐𝑏𝑑;(3)若ab,cd,则a-cb-d;(4)若ab,则anbn,a𝑛𝑏𝑛(𝑛∈N,n≥2).解:(1)假命题.取a=3,b=2,c=-2,d=-3,即32,-2-3,此时ac=bd=-6.因此(1)为假命题.(2)假命题.取a=6,b=4,c=3,d=2,此时𝑎𝑐=𝑏𝑑=2,因此(2)为假命题.(3)真命题.因为cd,所以-c-d,又因为ab,所以a+(-c)b+(-d),即a-cb-d,因此(3)为真命题.(4)假命题.当ab0时,才能成立,取a=-2,b=-3,当n为偶数时不成立,因此(4)为假命题.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型二用作差法比较大小【例2】当a≠0时,比较(a2+2𝑎+1)(𝑎2−2𝑎+1)与(𝑎2+𝑎+1)(𝑎2−𝑎+1)的大小.分析：比较两个数的大小,将两数作差,若差值为正,则前者大;若差值为负,则后者大.解:(a2+2𝑎+1)(𝑎2−2𝑎+1)−(𝑎2+𝑎+1)(𝑎2−𝑎+1)=(𝑎2+1)2−2𝑎2−[(𝑎2+1)2−𝑎2]=−2𝑎2+𝑎2=−𝑎2.∵a≠0,∴-a20.∴(a2+2𝑎+1)(𝑎2−2𝑎+1)(𝑎2+𝑎+1)·(a2-a+1).知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.用作差法比较两个数(式)的大小时,要按照“三步一结论”的步骤进行,即:作差变形定号结论,其中变形是关键,定号是目的.2.在变形中,一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断,变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等.3.在定号中,若为几个因式的积,需对每个因式先定号,当符号不确定时,需进行分类讨论.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知ab0,比较𝑎3-𝑏3𝑎3+𝑏3与𝑎-𝑏𝑎+𝑏的大小.解:𝑎3-𝑏3𝑎3+𝑏3−𝑎-𝑏𝑎+𝑏=(a-b)𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2𝑎3+𝑏3-𝑎2-𝑎𝑏+𝑏2𝑎3+𝑏3=2𝑎𝑏(𝑎-𝑏)𝑎3+𝑏3.∵ab0,∴a-b0,∴2𝑎𝑏(𝑎-𝑏)𝑎3+𝑏30,∴𝑎3-𝑏3𝑎3+𝑏3−𝑎-𝑏𝑎+𝑏0,即𝑎3-𝑏3𝑎3+𝑏3𝑎-𝑏𝑎+𝑏.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型三利用不等式的基本性质求范围【例3】已知60x84,28y33,则x-y的取值范围为,𝑥𝑦的取值范围为.解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y的范围.∵𝑥𝑦=𝑥·1𝑦,∴需先求出1𝑦的范围.∵28y33,∴-33-y-28,1331𝑦128.∵60x84,∴27x-y56,6033𝑥𝑦8428,即2011𝑥𝑦3.答案：(27,56)2011,3知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注意整体代换的思想,即弄清要求与已知“范围”间的联系.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的取值范围.解:设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则𝑥+𝑦=2,𝑥-𝑦=3,解得𝑥=52,𝑦=-12.∵−5252(𝑎+𝑏)152,−2−12(𝑎−𝑏)−1,∴−9252(𝑎+𝑏)−12(𝑎−𝑏)132,即−922𝑎+3𝑏132.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点同向不等式相加时,忽视前提条件致错【例4】已知−π2≤αβ≤π2,求𝛼+𝛽2,𝛼-𝛽2的取值范围.错解：∵−π2≤αβ≤π2,∴−π4≤𝛼2≤π4,−π4≤𝛽2≤π4.两式相加,得−π2≤𝛼+𝛽2≤π2.又−π4≤−𝛽2≤π4,∴−π2≤𝛼2−𝛽2≤π2.∴−π2≤𝛼-𝛽2≤π2.错因分析：在解答本题的过程中易出现−π2≤𝛼+𝛽2≤π2和−π2≤𝛼-𝛽2≤π2的错误,导致该种错误的原因是忽视了𝛼2,𝛽2不能同时取到π4和−π4,以及忽视了α,β的大小关系.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四正解：∵−π2≤αβ≤π2,∴−π4≤𝛼2π4,−π4𝛽2≤π4.两式相加,得−π2𝛼+𝛽2π2.∵−π4𝛽2≤π4,∴−π4≤−𝛽2π4.∴−π2≤𝛼-𝛽2π2.又αβ,∴𝛼-𝛽20.∴−π2≤𝛼-𝛽20.故𝛼+𝛽2的取值范围为-π2,π2,𝛼-𝛽2的取值范围为-π2,0.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取值范围,那么一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式,再求和.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航