2020版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入本章整合课件 新人教A版选修2-2

-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题一复数的有关概念1.复数的实部与虚部:若复数z=a+bi(a,b∈R),则其实部与虚部分别为a,b.2.纯虚数:对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时,z是纯虚数.3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,称它们互为共轭复数,z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为𝑧=𝑎−𝑏i,且有𝑧𝑧=|𝑧|2=|𝑧|2.4.复数的模:对于复数z=a+bi(a,b∈R),其模|z|=𝑎2+𝑏2.综合应用专题一专题二专题三应用1复数1-2+i+11-2i的虚部是()A.15iB.15C.−15iD.−15解析:1-2+i+11-2i=-2-i(-2+i)(-2-i)+1+2i(1-2i)(1+2i)=-2-i5+1+2i5=−15+15I,故虚部为15.答案:B综合应用专题一专题二专题三应用2若复数z=𝑎+i2-i(a0)的模等于2,则复数z的共轭复数是()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i解析:因为z=𝑎+i2-i=(𝑎+i)(2+i)(2-i)(2+i)=(2𝑎-1)+(𝑎+2)i5,所以2𝑎-152+𝑎+252=2,整理得5a2+5=50,解得a=3(a=-3舍去),于是z=1+i,故z的共轭复数是𝑧=1-i.答案:A综合应用专题一专题二专题三应用3已知纯虚数z满足(1+i)z=2m+i,其中i是虚数单位,则实数m的值等于.解析:因为(1+i)z=2m+i,所以z=2𝑚+i1+i=(2𝑚+i)(1-i)2=(2𝑚+1)+(1-2𝑚)i2.因为z为纯虚数,所以2𝑚+1=0,1-2𝑚≠0,故m=−12.答案:−12综合应用专题一专题二专题三应用4已知2z+|z|=2+6i,求z.提示:设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等建立方程组求解.解:设z=x+yi(x,y∈R),代入已知方程,得2(x+yi)+𝑥2+𝑦2=2+6i,即(2x+𝑥2+𝑦2)+2yi=2+6i.由复数相等的充要条件,得2𝑥+𝑥2+𝑦2=2,2𝑦=6,解得x=4±313,y=3.故z=4+313+3i或z=4-313+3i.综合应用专题一专题二专题三专题二复数的几何意义及其应用利用复数的几何意义,复数加、减法的几何意义,复数模的定义等,可以将复数和图形统一起来,这为我们利用数形结合思想解题提供了可能.(1)复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义.复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法.(2)复数的加、减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则.由减法的几何意义知|z-z1|表示复平面内与z,z1分别对应的两点Z与Z1之间的距离.综合应用专题一专题二专题三应用1已知等腰梯形OABC的顶点O,A,B在复平面内对应的复数分别为0,1+2i,-2+6i,𝑂𝐴∥𝐶𝐵,求顶点C所对应的复数z.提示:根据题意,画出图形,由𝑂𝐴∥𝐶𝐵,四边形OABC为等腰梯形,知|𝑂𝐶|=|𝐴𝐵|,从而可建立方程组求得点C的坐标,即得点C所对应的复数z.综合应用专题一专题二专题三解:设z=x+yi,x,y∈R,则顶点C的坐标为(x,y),如图.∵𝑂𝐴∥𝐵𝐶,|𝑂𝐶|=|𝐵𝐴|,∴kOA=kBC,|zC|=|zA-zB|,即21=𝑦-6𝑥+2,𝑥2+𝑦2=32+(-4)2,解得𝑥=-5,𝑦=0或𝑥=-3,𝑦=4.∵|𝑂𝐴|≠|𝐵𝐶|,∴𝑥=-3,𝑦=4(舍去),故z=-5.综合应用专题一专题二专题三应用2已知复数z1,z2满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=10,求|z1+z2|的值.提示:根据复数加、减法的几何意义,作出适合题意的图形,利用平行四边形的性质联系余弦定理解题.解:如图,设复数z1,z2的对应点分别为A,B,以𝑂𝐴,𝑂𝐵为邻边作▱OACB,则𝑂𝐶对应的复数为z1+z2.∴|𝑂𝐴|=3,|𝑂𝐵|=5,|𝐵𝐴|=10.∴cos∠AOB=|𝑂𝐴|2+|𝑂𝐵|2-|𝐵𝐴|22|𝑂𝐴||𝑂𝐵|=32+52-102×3×5=45.∴cos∠OBC=−45.又|𝐵𝐶|=|𝑂𝐴|=3,∴|z1+z2|=|𝑂𝐵|2+|𝐵𝐶|2-2|𝑂𝐵||𝐵𝐶|cos∠𝑂𝐵𝐶=58.综合应用专题一专题二专题三专题三复数的运算1.加法与减法:若z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1±z2=(a±c)+(b±d)i.2.乘法:若z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i.3.除法:若z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=𝑎𝑐+𝑏𝑑+(𝑏𝑐-𝑎𝑑)i𝑐2+𝑑2.综合应用专题一专题二专题三应用1计算:-23+i1+23i+21+i2016+[(4-8i)2-(4+8i)2]i128i.提示:按照复数的加法、减法、乘法与除法的运算法则进行运算.解:-23+i1+23i+21+i2016+[(4-8i)2-(4+8i)2]i128i=(-23+i)(1-23i)(1+23i)(1-23i)+2(1-i)(1+i)(1-i)2016+[(4-8i+4+8i)(4-8i-4-8i)]i128i=13i13+2(1-i)22016+(-128i)i128i=i+-2i21008+128128i=i+(-i)1008-i=i+1-i=1.综合应用专题一专题二专题三应用2已知复数𝑧1=15-5i(2+i)2,z2=a-3i(a∈R).(1)若a=2,求z1·𝑧2;(2)若z=𝑧1𝑧2是纯虚数,求a的值.解:𝑧1=15-5i(2+i)2=15-5i3+4i=(15-5i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-75i25=1-3i.(1)当a=2时,z2=2-3i,则z1·𝑧2=(1-3i)·(2+3i)=2+3i-6i+9=11-3i.(2)若z=𝑧1𝑧2=1-3i𝑎-3i=(1-3i)(𝑎+3i)(𝑎-3i)(𝑎+3i)=(𝑎+9)+(3-3𝑎)i𝑎2+9为纯虚数,则应满足𝑎+9𝑎2+9=0,3-3𝑎𝑎2+9≠0,解得a=-9,即a的值为-9.真题放送1(2018·全国Ⅰ高考)设z=1-i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.2解析:因为z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.答案:C2(2018·全国Ⅱ高考)1+2i1-2i=()A.−45−35iB.−45+35iC.−35−45iD.−35+45i解析:1+2i1-2i=(1+2i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=1-4+4i5=−35+45i.答案:D真题放送3(2018·全国Ⅲ高考)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i解析:(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.答案:D4(2018·浙江高考)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析:∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∴复数21-i的共轭复数为1-i.答案:B真题放送5(2017·全国Ⅲ高考)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D.2解析:由题意,得z=2i1+i=1+i,故|z|=12+12=2.答案:C6(2017·北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以𝑎+10,1-𝑎0,解得a-1.故选B.答案:B真题放送7(2017·山东高考)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+3i,z·𝑧=4,则a=()A.1或-1B.7或−7C.−3D.3解析:由z=a+3i,得z·𝑧=|𝑧|2=a2+3=4,所以a2=1,a=±1,选A.答案:A真题放送8(2017·全国Ⅰ高考)设有下面四个命题其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4p1:若复数z满足1𝑧∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则𝑧1=𝑧2;p4:若复数z∈R,则𝑧∈R.真题放送解析:p1:设z=a+bi(a,b∈R),则1𝑧=1𝑎+𝑏i=𝑎-𝑏i𝑎2+𝑏2∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.答案:B真题放送9(2018·天津高考)i是虚数单位,复数6+7i1+2i=___________________.解析:6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i.答案:4-i10(2017·天津高考)已知a∈R,i为虚数单位,若𝑎-i2+i为实数,则a的值为.解析:∵𝑎-i2+i=(𝑎-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2𝑎-15−𝑎+25i为实数,∴−𝑎+25=0,即a=-2.答案:-2真题放送11(2017·浙江高考)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则𝑎2-𝑏2=3,𝑎𝑏=2,解得𝑎2=4,𝑏2=1,则a2+b2=5,ab=2.答案:52真题放送