2020版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课件 新人教A

-1-3.2.2复数代数形式的乘除运算目标导航1.掌握复数代数形式的乘除运算.2.了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.知识梳理1.复数代数形式的乘法及其运算律(1)复数代数形式的乘法运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).(2)复数乘法的运算律.对于任意z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=z2z1结合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3名师点拨1.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.2.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=𝑧1𝑛·𝑧2𝑛.知识梳理【做一做1-1】已知复数z1=2+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为z=z1·z2=(2+i)(1-i)=3-i,所以它所对应的点位于第四象限.答案:D【做一做1-2】(4-2i)2=.解析:(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i.答案:12-16i知识梳理2.共轭复数的概念一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数的两个共轭复数也叫做共轭虚数.【做一做2】若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,其中x,y∈R,则x=,y=.解析:x-2+yi=3𝑥-i=3x+i,则𝑥-2=3𝑥,𝑦=1,解得𝑥=-1,𝑦=1.答案:-11为𝑧,虚部不等于0知识梳理3.复数代数形式的除法运算法则复数的除法法则是:(a+bi)÷(c+di)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).归纳总结在进行复数的除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R)写成𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i的形式,再将分子与分母都乘复数c-di,并化简成𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i的形式,复数的除法实际上是一个分母实数化的过程.知识梳理【做一做3-1】在复平面内,复数z=12+i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=12+i=2-i(2+i)(2-i)=2-i22-i2=2-i5=25−15I,故复数z对应的点为25,-15,它位于第四象限,故选D.答案:D【做一做3-2】计算:3-2i8+6i.解:3-2i8+6i=(3-2i)(8-6i)(8+6i)(8-6i)=24-18i-16i-12100=325−1750i.重难聚焦1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?剖析(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除法法则一致.(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数集中仍成立.(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.(4)两个复数的乘除可以推广到多个复数进行乘除法运算.重难聚焦温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在复数集中不一定成立.如:(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定成立,但是|z|2=z·𝑧.(2)当z1,z2∈R时,𝑧12+𝑧22=0⇔z1=0,且z2=0;当z1,z2∈C时,𝑧12+𝑧22=0z1=0,且z2=0,但z1=0,z2=0⇒𝑧12+𝑧22=0.也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的必要不充分条件.重难聚焦2.如何理解共轭复数?剖析(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实数的一个方法,即𝑧=𝑧⇔z∈R.(2)几何特征:互为共轭复数的两个复数的对应点关于实轴对称;代数特征:互为共轭复数的两个复数的虚部互为相反数,实部相等.(3)一个重要性质.复数z与其共轭复数𝑧的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即z·𝑧=|𝑧|2=|𝑧|2,通常也写成|z|=|𝑧|=𝑧·𝑧.知识拓展共轭复数的性质:设z=a+bi(a,b∈R),则(1)z+𝑧=2a,z−𝑧=2bi;(2)𝑧=𝑧;(3)z=𝑧⇔z∈R;(4)𝑧1±𝑧2=𝑧1±𝑧2,𝑧1·𝑧2=𝑧1·𝑧2,𝑧1𝑧2=𝑧1𝑧2.重难聚焦3.虚数单位i的幂值的周期性.剖析虚数单位i的幂值具有以下性质:(1)若n∈N*,则i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.(2)若n∈N*,则in+in+1+in+2+in+3=0.典例透析题型一题型二题型三复数代数形式的乘除运算【例1】计算下列各题:(1)(3+2i)(-2-4i)+(5-2i)2;(2)2-i-4-3i;(3)(3−i)6;(4)1+i1-i8.分析:按照复数的乘法与除法的运算法则进行计算.解:(1)(3+2i)(-2-4i)+(5-2i)2=(-6-12i-4i+8)+(25-20i-4)=23-36i.(2)2-i-4-3i=(2-i)(-4+3i)(-4-3i)(-4+3i)=-8+6i+4i+325=-5+10i25=−15+25i.典例透析题型一题型二题型三(3)(3−i)6=[(3−i)2]3=(2-23i)3=(2-23i)2(2-23i)=(-8-83i)(2-23i)=-16+163i-163i-48=-64.(4)(方法1)1+i1-i8=1+i1-i24=2i-2i4=(-1)4=1.(方法2)因为1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,所以1+i1-i8=i8=i4=1.典例透析题型一题型二题型三反思1.复数的乘法运算的技巧:(1)复数的乘法与实数多项式的乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.(2)三个或三个以上的复数相乘,可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.(3)在进行复数的乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如:(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式(zm)n=zmn进行转化运算.2.复数的除法运算的技巧:(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.(2)复数的除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】计算下列各题:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i;(4)(i-2)(i-1)(1+i)(i-1)+i;(5)(-1+3i)3(1+i)6−-2+i1+2i.解:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.典例透析题型一题型二题型三(3)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=(1+i-4i-4i2)+2+4i3+4i=5-3i+2+4i3+4i=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=21-28i+3i-4i225=25-25i25=1-i.(4)(i-2)(i-1)(1+i)(i-1)+i=i2-i-2i+2i-1+i2-i+i=1-3i-2+i=(1-3i)(-2-i)(-2+i)(-2-i)=-2-i+6i+3i25=-5+5i5=−1+i.(5)原式=(-1+3i)2(-1+3i)[(1+i)2]3−(-2+i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=(-2-23i)(-1+3i)8i3−-2+4i+i-2i25=2-23i+23i-6i2-8i−i=−1i−i=0.典例透析题型一题型二题型三共轭复数的概念【例2】设z1,z2∈C,A=z1·𝑧2+𝑧2·𝑧1,B=z1·𝑧1+𝑧2·𝑧2,则A与B是否可以比较大小?为什么?分析:设出z1,z2的代数形式→化简A,B→判断→A,B是否同为实数→结论解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则𝑧1=𝑎−𝑏i,𝑧2=𝑐−𝑑i,∴A=z1·𝑧2+𝑧2·𝑧1=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd.∴A∈R.∵B=z1·𝑧1+𝑧2·𝑧2=|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2,∴B∈R.故A与B可以比较大小.典例透析题型一题型二题型三方法二:∵z1,z2∈C,∴设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∴B=z1·𝑧1+𝑧2·𝑧2=(a+bi)(a-bi)+(c+di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,∴B∈R.又𝐴=𝑧1·𝑧2+𝑧2·𝑧1=𝑧1·𝑧2+𝑧2·𝑧1=𝑧1·𝑧2+𝑧2·𝑧1=𝑧1·𝑧2+𝑧2·z1=A,∴A∈R.故A与B可以比较大小.反思1.共轭复数是复数除法运算的基础.4.若z≠0,且z+𝑧=0,则z为纯虚数,利用此性质可以证明一个复数是纯虚数.2.z·𝑧=|𝑧|2=|𝑧|2是共轭复数的常用性质.3.实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔z=𝑧,利用此性质可以证明一个复数是实数.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】已知复数z=1+i,求实数a,b,使az+2𝑏𝑧=(a+2z)2.解:∵z=1+i,∴az+2𝑏𝑧=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.∵a,b都是实数,∴由az+2𝑏𝑧=(a+2z)2,得𝑎+2𝑏=𝑎2+4𝑎,𝑎-2𝑏=4(𝑎+2),解得𝑎=-2,𝑏=-1或𝑎=-4,𝑏=2.故所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.典例透析题型一题型二题型三虚数单位i的幂的周期性【例3】计算:i+i2+i3+…+i2018.分析:可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简.解:方法一:原式=i(1-i2018)1-i=i[1-(i2)1009]1-i=i·(1+1)1-i=i-1.方法二:∵i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,∴in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).∴原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2009+i2010+i2011+i2012)+(i2013+i2014+i2015+i2016)+i2017+i2018=0+i-1=i-1.反思记住以下结果,可提高运算速度.(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.(2)1-i1+i=−i,1+i1-i=i.(3)1i=−i.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.iB.-iC.1D.-1答案:A典例透析