2020版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

-1-3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义目标导航1.掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理1.复数加法、减法法则及运算律设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数加法满足的运算律:对任意z1,z2,z3∈C,满足交换律:z1+z2=z2+z1,结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).【做一做1-1】已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于()A.8iB.6C.6+8iD.6-8i解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6,故选B.答案:B【做一做1-2】计算:(2+4i)-(5-4i)=.答案:-3+8i知识梳理2.复数加法的几何意义如图,若复数z1,z2对应的向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2不共线,则复数z1+z2就是以𝑂𝑍1,𝑂𝑍2为邻边的平行四边形的对角线𝑂𝑍所对应的复数,即复数的加法可以按照向量的加法来进行.这是复数加法的几何意义.知识梳理【做一做2】已知向量𝑂𝑍1对应的复数是5-4i,向量𝑂𝑍2对应的复数是-5+4i,则𝑂𝑍1+𝑂𝑍2对应的复数是()A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i解析:由复数加法的几何意义知,𝑂𝑍1+𝑂𝑍2对应的复数是(5-4i)+(-5+4i)=0.故选C.答案:C知识梳理3.复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算,设𝑂𝑍1,𝑂𝑍2分别与复数z1,z2相对应,且𝑂𝑍1,𝑂𝑍2不共线,如图,则这两个复数的差z1-z2与向量𝑂𝑍1−𝑂𝑍2对应,这就是复数减法的几何意义.即复数z1-z2是连接向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2的终点,并指向被减向量所对应的复数.【做一做3】设O是原点,向量𝑂𝐴,𝑂𝐵对应的复数分别为2-3i,-3+2i,则向量𝐵𝐴对应的复数是___________.解析:𝐵𝐴对应的复数是(2-3i)-(-3+2i)=5-5i,即𝐵𝐴对应的复数为5-5i.答案:5-5i重难聚焦1.如何理解复数代数形式的加、减运算法则的合理性?剖析复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算,其合理性可以从以下几点理解:(1)当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.(2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.(3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数.(4)可以推广到多个复数进行加、减运算.重难聚焦2.进一步理解复数减法运算的几何意义.剖析复数的减法用向量来进行运算时也可实施平行四边形法则.设𝑂𝑍与复数a+bi(a,b∈R)对应,𝑂𝑍1与复数c+di(c,d∈R)对应,如图所示,以𝑂𝑍为一条对角线,𝑂𝑍1为一边作平行四边形,那么这个平行四边形的另一边𝑂𝑍2所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i对应.典例透析题型一题型二题型三复数的加、减运算【例1】(1)计算:(2-i)+(-3+5i)+(4+3i);(2)计算:4-(5+12i)-i;(3)若z-(-3+5i)=-2+6i,求复数z.分析:(1)(2)可根据复数的加、减法法则计算;(3)可设z=a+bi(a,b∈R),根据复数相等计算,也可把等式看作关于z的方程,通过移项求解.题型四典例透析题型一题型二题型三解:(1)(2-i)+(-3+5i)+(4+3i)=(2-3+4)+(-1+5+3)i=3+7i.(2)4-(5+12i)-i=(4-5)+(-12-1)i=-1-13i.(3)(方法1)设z=x+yi(x,y∈R),因为z-(-3+5i)=-2+6i,所以(x+yi)-(-3+5i)=-2+6i,即(x+3)+(y-5)i=-2+6i,因此𝑥+3=-2,𝑦-5=6,解得𝑥=-5,𝑦=11.于是z=-5+11i.(方法2)由z-(-3+5i)=-2+6i可得z=-2+6i+(-3+5i),所以z=(-2-3)+(6+5)i=-5+11i.题型四典例透析题型一题型二题型三反思复数加减运算的方法技巧:(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,则先计算括号里面的;若没有括号,则可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不要弄错.题型四典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】(1)计算:(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=;(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z=.解析:(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.答案:(1)-2-4i(2)5+5i题型四典例透析题型一题型二题型三复数加、减运算的几何意义【例2】在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.分析:𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐶→z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1)→z4→|z4-z1|解:如图,𝐴𝐶对应复数z3-z1,𝐴𝐵对应复数z2-z1,𝐴𝐷对应复数z4-z1.由复数加、减运算的几何意义,得𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐶,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1).∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i.故AD的长为|𝐴𝐷|=|𝑧4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=210.题型四典例透析题型一题型二题型三反思1.根据复数加、减运算的几何意义可以把复数的加、减运算与向量的运算联系起来.2.利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加、减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.题型四典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量𝐵𝐴对应的复数为1+2i,向量𝐵𝐶对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.解:(1)因为向量𝐵𝐴对应的复数为1+2i,向量𝐵𝐶对应的复数为3-i,所以向量𝐴𝐶对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又𝑂𝐶=𝑂𝐴+𝐴𝐶,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为𝐴𝐷=𝐵𝐶,所以向量𝐴𝐷对应的复数为3-i,即𝐴𝐷=(3,-1).设D(x,y),则𝐴𝐷=(x-2,y-1)=(3,-1).所以𝑥-2=3,𝑦-1=-1,解得𝑥=5,𝑦=0,所以点D对应的复数为5.题型四典例透析题型一题型二题型三(2)因为𝐵𝐴·𝐵𝐶=|𝐵𝐴||𝐵𝐶|cosB,所以cosB=𝐵𝐴·𝐵𝐶|𝐵𝐴||𝐵𝐶|=3-25×10=152=210.所以sinB=752=7210.所以S=|𝐵𝐴||𝐵𝐶|sinB=5×10×7210=7.故平行四边形ABCD的面积为7.题型四典例透析题型一题型二题型三综合应用【例3】设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=2,求|z1-z2|.分析:方法一:设出z1,z2的代数形式,利用模的定义求解.方法二:利用复数加、减运算的几何意义求解.解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).由题意知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,∴2ac+2bd=0.∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,∴|z1-z2|=2.方法二:设复数z1,z2,z1+z2分别对应向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2,𝑂𝑍.∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=2,∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形.∴|z1-z2|=|𝑍2𝑍1|=|𝑂𝑍|=2.题型四典例透析题型一题型二题型三反思1.解决复数问题时,设出复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,列方程求实部、虚部可把复数问题实数化.2.利用复数加、减运算及模的几何意义,应用数形结合的思想,可以直观简便地解决复数问题.3.掌握以下常用结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则(1)四边形OACB为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.题型四典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.解:方法一:设复数-i,i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,如图.∵|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,∴复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,由图易知当点Z与Z1重合时,|ZZ3|最小,且最小值为1.题型四典例透析题型一题型二题型三方法二:设z=x+yi(x,y∈R).∵|z+i|+|z-i|=2,∴𝑥2+(𝑦+1)2+𝑥2+(𝑦-1)2=2.又𝑥2+(𝑦+1)2=2−𝑥2+(𝑦-1)2≥0,∴0≤1-y=𝑥2+(𝑦-1)2≤2,即(1-y)2=x2+(y-1)2,且0≤1-y≤2.∴x=0,且-1≤y≤1,则z=yi(-1≤y≤1).∴|z+i+1|=|1+(y+1)i|=12+(𝑦+1)2≥1,等号在y=-1,即z=-i时成立.∴|z+i+1|的最小值为1.题型四典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:混淆复数的运算与实数的运算致误【例4】已知复数z满足|z+1|=1,|z+i|=|z-i|,求复数z.错解由|z+1|=1,得z+1=±1,解得z=0或-2.又因为|z+i|=|z-i|,所以z=0.错因分析混淆了复数的运算与实数的运算、复数的模与实数的绝对值的区别.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:设复数z=x+yi(x,y∈R),则由已知条件可得(𝑥+1)2+𝑦2=1,𝑥2+(𝑦+1)2=𝑥2+(𝑦-1)2,整理得(𝑥+1)2+𝑦2=1,𝑦=0,解得𝑥=0,𝑦=0或𝑥=-2,𝑦=0,故z=0或z=-2.反思解决复数问题时,应注意区分实数的绝对值与复数的模的区别,涉及复数的模的计算问题,应采取复数问题实数化的方法,通过建立方程(组)进行求解.典例透析