2020版高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法课件 新人教A版选修4-5

-1-二综合法与分析法目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.理解综合法和分析法的概念.2.掌握综合法和分析法的证明过程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.综合法一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,又叫顺推证法或由因导果法.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1】若ab0,则下列不等式中成立的是()A.1𝑎1𝑏B.𝑎+1𝑏𝑏+1𝑎C.b+1𝑎𝑎+1𝑏D.𝑏𝑎𝑏+1𝑎+1解析：∵ab0,∴1𝑎1𝑏,故选项A,B错误,而选项C正确.选项D中,取b=-1,则𝑏+1𝑎+1=0,而𝑏𝑎0,故选项D错误.答案：C目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.分析法证明命题时,我们还常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2-1】分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2-2】当x1时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3]x+1𝑥-1≥a解析：要使x+1𝑥-1≥a恒成立,只需f(x)=x+1𝑥-1的最小值大于等于a即可.∵x1,∴x+1𝑥-1=𝑥−1+1𝑥-1+1≥2(𝑥-1)·1𝑥-1+1=3,当且仅当x=2时,等号成立.∴f(x)的最小值为3.∴a≤3.答案：D知识梳理重难聚焦典例透析目标导航1231.如何理解综合法证明不等式剖析：(1)证明的特点.综合法又叫顺推证法或由因导果法,是由已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推出所要证明的结论成立.(2)证明的框图表示.用P表示已知条件或已有的不等式,用Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q知识梳理重难聚焦典例透析目标导航123(3)证明的主要依据.①a-b0⇔ab,a-b=0⇔a=b,a-b0⇔ab;②不等式的性质;③几个重要不等式:a2≥0(a∈R),a2+b2≥2ab(a,b∈R),𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏(𝑎0,𝑏0).名师点拨使用综合法时要防止因果关系不清晰,逻辑表达混乱等现象.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航1232.如何理解分析法证明不等式剖析：(1)证明的特点.分析法又叫逆推证法或执果索因法,须从证明的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件.直到最后把要证明的不等式转化为判定一个明显成立的不等式为止.(2)证明的框图表示.用Q表示要证明的不等式,则分析法可用框图表示为得到一个明显成立的不等式←…←P3⇐P2←P2⇐P1←P1⇐Q知识梳理重难聚焦典例透析目标导航1233.综合法和分析法的优点剖析：综合法的优点是结构整齐,而分析法更容易找到证明不等式的突破口,所以通常是用分析法找思路,用综合法写步骤.名师点拨用分析法证明不等式是“逆求”,而不是逆推,即寻找的是充分条件,而不是必要条件.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型一利用综合法证明不等式【例1】已知a,b0,且a+b=1,求证:𝑎+1𝑎2+𝑏+1𝑏2≥252.分析：本题中条件a+b=1是解题的重点,由基本不等式的知识联想知应由重要不等式来变形出要证明的结论;本题a+b=1,也可以视为是“1”的代换问题.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三证法一：不等式左边=𝑎+1𝑎2+𝑏+1𝑏2=a2+b2+4+1𝑎2+1𝑏2=4+a2+b2+(𝑎+𝑏)2𝑎2+(𝑎+𝑏)2𝑏2=4+a2+b2+1+2𝑏𝑎+𝑏2𝑎2+𝑎2𝑏2+2𝑎𝑏+1=4+(a2+b2)+2+2𝑏𝑎+𝑎𝑏+𝑏2𝑎2+𝑎2𝑏2≥4+(𝑎+𝑏)22+2+2×2𝑏𝑎·𝑎𝑏+2·𝑏𝑎·𝑎𝑏=4+12+2+4+2=252,当且仅当a=b=12时,等号成立.故原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三证法二：∵a,b0,且a+b=1,∴ab≤𝑎+𝑏22=14,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴𝑎+1𝑎2+𝑏+1𝑏2=4+(a2+b2)+1𝑎2+1𝑏2=4+[(a+b)2-2ab]+(𝑎+𝑏)2-2𝑎𝑏𝑎2𝑏2=4+(1-2ab)+1-2𝑎𝑏𝑎2𝑏2≥4+1-2×14+1-2×14142=252.∴𝑎+1𝑎2+𝑏+1𝑏2≥252.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思1.利用综合法证明不等式,揭示了条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系,合理进行转换,恰当地选择已知条件,这是证明的关键.2.利用综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要是重要不等式,其中常用的有如下几个:(1)a2≥0(a∈R).(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有:a2+b2≥2ab,𝑎+𝑏22≥ab,a2+b2≥12(𝑎+𝑏)2.(3)若a,b为正实数,则𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏.特别地,𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2.(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】已知a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤13.证明：∵a+b+c=1,∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,∴将以上三个不等式相加,得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca).∴ab+bc+ca≤13.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型二利用分析法证明不等式【例2】已知ab0,求证:(𝑎-𝑏)28𝑎𝑎+𝑏2−𝑎𝑏(𝑎-𝑏)28𝑏.分析：本题要证明的不等式较为复杂,由ab0不容易得到要证明的不等式,因而可以用分析法先变形要证明的不等式,从中找到证题的线索.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三证明：要证原不等式成立,只需证(𝑎-𝑏)24𝑎𝑎+𝑏−2𝑎𝑏(𝑎-𝑏)24𝑏,即证𝑎-𝑏2𝑎2(𝑎−𝑏)2𝑎-𝑏2𝑏2.只需证𝑎-𝑏2𝑎𝑎−𝑏𝑎-𝑏2𝑏,即𝑎+𝑏2𝑎1𝑎+𝑏2𝑏,即𝑏𝑎1𝑎𝑏.只需证𝑏𝑎1𝑎𝑏.∵ab0,∴𝑏𝑎1𝑎𝑏成立.∴原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思利用分析法证明的格式是固定化的,但是每一步都是上一步的充分条件,即每一步的变化都是在这个要求之下一步一步去寻找成立的条件或结论、定理.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】已知a0,b0,2ca+b,求证:c−𝑐2-𝑎𝑏𝑎𝑐+𝑐2-𝑎𝑏.证明：要证c−𝑐2-𝑎𝑏𝑎𝑐+𝑐2-𝑎𝑏,即要证−𝑐2-𝑎𝑏𝑎−𝑐𝑐2-𝑎𝑏,即要证|a-c|𝑐2-𝑎𝑏,即要证(a-c)2c2-ab,即要证a2-2ac-ab.∵a0,∴只要证a-2c-b,即要证a+b2c,由已知条件知,上式显然成立.∴原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点证明过程不严谨,利用分析法不全面【例3】设x,y都是正数,求证:12(𝑥+𝑦)2+14(𝑥+𝑦)≥𝑥𝑦+𝑦𝑥.错解：原不等式⇔2(x+y)2+(x+y)≥4𝑥𝑦+4𝑦𝑥⇔(x+y)[2(x+y)+1]≥2𝑥𝑦(2𝑥+2𝑦).∵x+y≥2𝑥𝑦0,∴12(𝑥+𝑦)2+14(𝑥+𝑦)≥𝑥𝑦+𝑦𝑥.错因分析：对于2(x+y)+1≥2𝑥+2𝑦没有给出证明,只证明了x+y≥2𝑥𝑦.此题要证的式子较为复杂,所以用分析法分析可以将问题化简.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三正解：原不等式⇔2(x+y)2+(x+y)≥4𝑥𝑦+4𝑦𝑥⇔(x+y)[2(x+y)+1]≥2𝑥𝑦(2𝑥+2𝑦).∵x+y≥2𝑥𝑦0,∴只需证2(x+y)+1≥2𝑥+2𝑦,即证𝑥+14+𝑦+14≥𝑥+𝑦,而x+14≥2𝑥4=𝑥,𝑦+14≥2𝑦4=𝑦,∴原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航