2020版高中数学 第二讲 参数方程 2.1 曲线的参数方程课件 新人教A版选修4-4

-1-第二讲参数方程-2-一曲线的参数方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解学习参数方程的必要性.2.理解参数方程、普通方程的概念,通过比较参数方程和普通方程,体会两者的联系与区别.3.掌握圆的参数方程及其参数的意义.4.能用圆的参数方程解决一些简单问题.5.能进行普通方程和参数方程的互化.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)∗,并且对于𝑡的每一个允许值,由方程组∗所确定的点𝑀𝑥,𝑦都在这条曲线上,那么方程∗就叫做这条曲线的参数方程,联系变数𝑥,𝑦的变数𝑡叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】若点P(2,4)在参数方程𝑥=1+𝑡,𝑦=3-𝑎𝑡(𝑡为参数)表示的曲线上,则𝑎的值为()A.3B.2C.1D.-1ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.圆的参数方程(1)如果在时刻t,圆周上某点M转过的角度是θ,点M的坐标是(x,y),那么θ=ωt(ω为角速度).设|OM|=r,那么由三角函数定义,有cosωt=𝑥𝑟,sin𝜔𝑡=𝑦𝑟,即圆心在原点𝑂,半径为𝑟的圆的参数方程为𝑥=𝑟cos𝜔𝑡,𝑦=𝑟sin𝜔𝑡𝑡为参数.其中参数𝑡的物理意义是质点做匀速圆周运动的时刻.(2)若取θ为参数,因为θ=ωt,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为𝑥=𝑟cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜃𝜃为参数.其中参数𝜃的几何意义是𝑂𝑀0𝑀0为𝑀在𝑡=0时的位置绕点𝑂逆时针旋转到𝑂𝑀的位置时,𝑂𝑀0转过的角度.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2】若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆𝑥=𝑎+𝑟cos𝜃,𝑦=𝑏+𝑟sin𝜃(𝜃为参数)的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则a0,b0,所以圆心(a,b)在第二象限.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.【做一做3-1】将参数方程𝑥=1+2cos𝜃,𝑦=2sin𝜃(𝜃为参数)化为普通方程为.解析:由𝑥-1=2cos𝜃,𝑦=2sin𝜃,两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=4ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做3-2】已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.解:由x2+y2-6y=0,得x2+(y-3)2=9.令x=3cosθ,y-3=3sinθ,所以圆的参数方程为𝑥=3cos𝜃,𝑦=3+3sin𝜃(𝜃为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.曲线参数方程的特点剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着相应的参数值.在具体问题中,要求相应曲线的参数方程,首先就要注意参数的选取.一般来说,选择参数时应考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与x,y的相互关系比较明显,容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑,可以是时间,也可以是线段的长度、方位角、旋转角,动直线的斜率、倾斜角、截距,动点的坐标等.有时为了便于列出方程,也可以选两个以上的参数,再设法消去其中的参数得到普通方程,或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦,所以参数个数一般应尽量少.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.求曲线参数方程的步骤剖析第一步,画出轨迹草图,设M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件建立适当的坐标系,以利于发现、表达变量之间的关系.第二步,选择适当的参数.例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.参数方程与普通方程的互化剖析(1)参数方程化为普通方程一般地,将参数方程中的参数消去就会得到普通方程,常采用消去法或代入法进行消参.(2)普通方程化为参数方程一般找出变数x,y中的一个与参数t的关系,如:x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)就是所求的曲线的参数方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(3)消参的常用方法①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示),再代入另一个方程.②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.例如对于参数方程𝑥=𝑎𝑡+1𝑡cos𝜃,𝑦=𝑎𝑡-1𝑡sin𝜃,如果t是常数,θ是参数,那么可以利用公式sin2θ+cos2θ=1消参;如果θ是常数,t是参数,那么适当变形后可以利用𝑡+1𝑡2−𝑡-1𝑡2=4消参.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四曲线的参数方程【例1】选取适当的参数,把直线方程y=2x+3化为参数方程.解:选t=x,则y=2t+3,由此得直线的参数方程为𝑥=𝑡,𝑦=2𝑡+3(𝑡为参数).也可选t=x+1,则y=2t+1,参数方程为𝑥=𝑡-1,𝑦=2𝑡+1(𝑡为参数).反思选择合适的参数是将普通方程化为参数方程的关键.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列各点在曲线𝑥=1+𝑡2+𝑡4,𝑦=𝑡3-3𝑡+2(𝑡为参数)上的是()A.(0,2)B.(-1,6)C.(1,3)D.(3,4)解析:因为x=1+t2+t4=𝑡2+122+34≥1,所以点(0,2),(-1,6)均不在曲线上.对于点(1,3),当x=1时,t=0,此时y=2,即点(1,3)不在曲线上.故选D.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四圆的参数方程及应用【例2】如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,定点A(12,0),当点P在圆上运动时,利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹.分析:设∠POA=θ,θ为参数,则圆O的参数方程为(θ为参数).当θ变化时,动点P在定圆O上运动,线段PA随之变动,从而中点M在运动.因此点M的运动与θ有关,从而可以表示点M的坐标,求出点M的轨迹方程.𝑥=4cos𝜃,𝑦=4sin𝜃ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:设∠POA=θ,以θ为参数,则圆x2+y2=16的参数方程为𝑥=4cos𝜃,𝑦=4sin𝜃(𝜃为参数),所以可设点P(4cosθ,4sinθ),点M(x,y),由线段的中点坐标公式得𝑥=4cos𝜃+122,𝑦=4sin𝜃2(𝜃为参数),即点M的轨迹的参数方程为𝑥=2cos𝜃+6,𝑦=2sin𝜃(𝜃为参数).故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的参数方程的主要应用之一.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知点P是圆x2+y2=9上的一个动点,定点A(9,0),点M在线段PA上,且2|PM|=|MA|,当点P在圆上运动时,求点M的轨迹的参数方程.解:设点M的坐标是(x,y),∠xOP=θ,则点P的坐标是(3cosθ,3sinθ).因为2|PM|=|MA|,所以𝐴𝑀=23𝐴𝑃,即(x-9,y)=23(3cosθ-9,3sinθ).所以x=3+2cosθ,y=2sinθ.因此,点M的轨迹的参数方程是𝑥=3+2cos𝜃,𝑦=2sin𝜃(𝜃为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四参数方程与普通方程的互化【例3】指出参数方程𝑥=1+4cos𝑡,𝑦=-2+4sin𝑡(𝑡为参数)表示什么曲线.解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,即(x-1)2+(y+2)2=16,它表示以(1,-2)为圆心,4为半径的圆.反思普通方程化为参数方程,就是要把x,y分别用参数表示出来,所以我们要分别找出参数与x,y的关系,然后表达出来即可,另外要特别注意参数的取值范围.参数方程化为普通方程的关键是消去参数,并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形,则一定要通过x=f(t),y=g(t),根据t的取值范围推导出x,y的取值范围.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)将下列参数方程化为普通方程:①𝑥=2+3cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(𝜃为参数);②𝑥=35𝑡+1,𝑦=𝑡2-1(𝑡为参数).(2)已知圆的普通方程为x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程.解:(1)①(x-