2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的实际应用课件 文 新人教

§4.7解三角形的实际应用第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理ZHISHISHULI实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝atanαtanβtanβ－tanα求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝；在△BDC中，BC＝；在△ABC中，应用余弦定理求ABa2＋b2－2abcosαasinαsinα＋βasinαsinα＋γasinβsinβ＋δ在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是()××√√基础自测JICHUZICE1234560，π2.0，π2.题组二教材改编2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.502123456解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB，又B＝30°，∴AB＝ACsin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m).∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝6－22a×sin60°＋asin15°＝22a.3.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝_____米.解析由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝90°－α－90°－γ＝γ－α＝30°，12345622a∴在△PAB中，asin30°＝PBsin15°，∴PB＝6－22a，解析设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝3x.A.102mB.20mC.203mD.40m题组三易错自纠4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40m.√1234565.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.130°解析60°＋70°＝130°.1234566.海上有A，B，C三个小岛，A，B相距海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里.1234565352解析由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即53sin60°＝BCsin45°，得BC＝52.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一测量距离问题1.(2018·营口检测)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距______m.解析如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，自主演练103ON＝AOtan30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m).2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为______km.64解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900，故PQ＝900，∴P，Q两点间的距离为900m.3.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.3900求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.思维升华例1(2018·赤峰测试)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为______m/s.(精确到0.1，参考数据：题型二测量高度问题2≈1.414，5≈2.236)师生共研22.6(1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.思维升华跟踪训练1如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝____________.解析由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.hcosαsinβsinα－β在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，即ACsin90°－α＝BCsinα－β，∴AC＝BCcosαsinα－β＝hcosαsinα－β.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝hcosαsinβsinα－β.故山高CD为hcosαsinβsinα－β.题型三角度问题例2如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为千米.(1)船的航行速度是每小时多少千米？师生共研23解在△BCP中，由tan∠PBC＝PCBC，得BC＝PCtan∠PBC＝2，在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米.(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？解在△BCD中，BD＝3＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，则由余弦定理得CD＝6，在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠DBC＝BCsin∠CDB，即6sin60°＝2sin∠CDB，所以sin∠CDB＝22，所以，山顶位于D处南偏东45°的方向.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角和方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.思维升华跟踪训练2如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的___________的方向上.北偏西10°解析由已知得∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上.3课时作业PARTTHREE∴AC＝107.A.10kmB.103kmC.105kmD.107km1.(2018·沈阳调研)已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为解析如图所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，√基础保分练12345678910111213141516解析在△ABC中，由正弦定理得ABsin30°＝ACsin135°，∴AC＝1002.在△ADC中，ACsinθ＋90°＝CDsin15°，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝AC·sin15°CD＝3－1.A.32B.22C.3－1D.2－12.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于12345678910111213141516√A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得√12345678910111213141516BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102.4.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为A.30°B.45°C.60°D.75°√12345678910111213141516解析依题意可得AD＝2010，AC＝305，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝3052＋20102－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°∠CAD180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.A.56B.153C.52D.1565.(2018·呼和浩特质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.√12345678910111213141516由正弦定理得BCsin30°＝CDsin135°，所以BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.故选D.A.240(3＋1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m6.(2018·丹东模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于√123456789101112131415167.(