2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A

§3.3定积分与微积分基本定理第三章导数及其应用NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.定积分的概念设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0x1x2…xn＝b.把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝f(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限.f(x)dx叫做被积式.此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积.知识梳理ZHISHISHULI∑n－1i＝0ʃbaʃbalimλ→0∑n＝1i＝02.定积分的性质(1)cf(x)dx＝(c为常数).(2)设f(x)，g(x)可积，则[f(x)＋g(x)]dx＝.3.微积分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则f(x)dx＝F(b)－F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个.原函数ʃbaʃbaʃbac·ʃbaf(x)dxʃbaf(x)dx＋ʃbag(x)dxf(x)dx是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？提示不是.函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.【概念方法微思考】ʃbaʃba题组一思考辨析基础自测JICHUZICE12345671.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃbaf(x)dx＝ʃbaf(t)dt.()(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃbaf(x)dx0.()(3)若ʃbaf(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(4)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ10(x2－x)dx.()√√××题组二教材改编2.ʃe＋121x－1dx＝_____.1234561解析ʃe＋121x－1dx＝ln(x－1)|e＋12＝lne－ln1＝1.73.ʃ0－11－x2dx＝________.解析ʃ0－11－x2dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝1－x2所围成的图形的面积，123456π4∴ʃ0－11－x2dx＝π4.74.汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是______m.1234561327＝32×4＋4－32＋2＝10－72＝132(m).解析s＝ʃ21(3t＋2)dt＝32t2＋2t21A.1B.435.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是123456题组三易错自纠7C.3D.2√解析所求面积＝ʃ20(－x2＋2x)dx＝ －13x3＋x220＝－83＋4＝43.所以物体在12s～6s间的运动路程是494m.6.一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为____m.12解析由题图可知，v(t)＝2t，0≤t1，2，1≤t≤3，13t＋1，3t≤6.494由变速直线运动的路程公式，可得s＝+ʃ312dt＋ʃ6313t＋1dt==494(m).611122d2tttdt＝v2132611321|2||6tttt123456712345677.＝_____.202sin4xdx2解析由题意得202sin4xdx2200(sincos)d(sincos)|xxxxx－＝＝＋＝sinπ2－cosπ2－(sin0－cos0)＝2.2题型分类深度剖析PARTTWO解ʃ21(x2＋2x＋1)dx＝ʃ21x2dx＋ʃ212xdx＋ʃ211dx题型一定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：自主演练(1)ʃ21(x2＋2x＋1)dx；＝x3321＋x2|21＋x|21＝193.(2)ʃπ0(sinx－cosx)dx；解ʃπ0(sinx－cosx)dx＝ʃπ0sinxdx－ʃπ0cosxdx＝－cosxπ0－sinxπ0＝2.(3)ʃ20|1－x|dx；解ʃ20|1－x|dx＝ʃ10(1－x)dx＋ʃ21(x－1)dx(4)ʃ21e2x＋1xdx；解ʃ21e2x＋1xdx＝ʃ21e2xdx＋ʃ211xdx＝12e4－12e2＋ln2.＝x－12x210＋12x2－x21＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.＝12e2x21＋lnx21＝12e4－12e2＋ln2－ln1解ʃ1－1e|x|dx＝ʃ0－1e－xdx＋ʃ10exdx(6)若ʃ10(x2＋mx)dx＝0，求m.(5)ʃ1－1e|x|dx；＝－1＋e＋e－1＝2e－2.∴m＝－23.＝－e－x0－1＋ex10解∵ʃ10(x2＋mx)dx＝x33＋m2x210＝13＋m2＝0，计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.思维升华题型二定积分的几何意义例1设f(x)＝1－x2，x∈[－1，1，x2－1，x∈[1，2]，则ʃ2－1f(x)dx的值为________.命题点1利用定积分的几何意义计算定积分多维探究π2＋43解析根据定积分性质可得ʃ2－1f(x)dx＝ʃ1－11－x2dx＋ʃ21(x2－1)dx，ʃ1－11－x2dx是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的12，∴ʃ1－11－x2dx＝π2，∴ʃ2－1f(x)dx＝π2＋13x3－x21＝π2＋43.根据定积分的几何意义可知，命题点2求平面图形的面积2ln2－12解析解方程组y＝2x，y＝x－1，得x＝2，y＝1，则曲线y＝2x与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S＝ʃ212x－x＋1dx＝2lnx－12x2＋x21＝(2ln2－2＋2)－0－12＋1＝2ln2－12.例2(1)曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为________.2x(2)曲线y＝x2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为_____.1416解析设曲线y＝14x2在点(2,1)处的切线为l，∵y′＝12x，∴直线l的斜率k＝y′|x＝2＝1，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1.当y＝0时，x－1＝0，即x＝1，所围成的封闭图形如图所示，∴所求面积S＝ʃ2014x2dx－12×1×1＝112x320－12＝16.(1)根据定积分的几何意义可计算定积分.(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.思维升华跟踪训练1(1)定积分ʃ309－x2dx的值为________.9π4解析由定积分的几何意义知，ʃ309－x2dx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故ʃ309－x2dx＝π·324＝9π4.(2)(2018·赤峰模拟)曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为__________.23－2π3解析令2sinx＝1，得sinx＝12，当x∈[0，π]时，得x＝π6或x＝5π6，所以所求面积S＝66(2sin1)dxx－＝(－2cosx－x)＝23－2π3.566|题型三定积分在物理中的应用例3一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离是______________m.师生共研251＋t4＋25ln5解析令v(t)＝0，得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ407－3t＋251＋tdt＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5(m).7t－32t2＋25ln1＋t40＝定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.ʃbaʃba思维升华A.3JB.233J跟踪训练2一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为解析ʃ21F(x)cos30°dx＝ʃ2132(5－x2)dx＝5x－13x3×3221＝433，所以F(x)做的功为433J.C.433JD.23J√3课时作业PARTTHREE1.ʃ10(1－x)dx等于基础保分练12345678910111213141516A.1B.－1C.12D.－12解析ʃ10(1－x)dx＝x－12x210＝12.√2.ʃ2π0|sinx|dx等于A.1B.2C.3D.4解析ʃ2π0|sinx|dx＝2ʃπ0sinxdx＝2(－cosx)|π0＝2×(1＋1)＝4.√123456789101112131415163.(2018·丹东质检)ʃ1－1(1－x2＋x)dx等于故选B.12345678910111213141516解析ʃ1－1(1－x2＋x)dx＝ʃ1－11－x2dx＋ʃ1－1xdx＝π2＋12x21－1＝π2.A.πB.π2C.π＋1D.π－1√12345678910111213141516220sind2xx4.(2018·大连双基测试)等于A.0B.π4－12C.π4－14D.π2－1解析222001cossindd22xxxx＝12x－12sinx＝π4－12.20|√解析由题意知ʃa12x＋1xdx＝(x2＋lnx)|a15.(2018·大连调研)若ʃa12x＋1xdx＝3＋ln2(a1)，则a的值是＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2(舍负).12345678910111213141516A.2B.3C.4D.6√6.设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e](其中e为自然对数的底数)，则ʃe0f(x)dx的值为故选A.12345678910111213141516A.43B.54C.65D.76解析ʃe0f(x)dx＝ʃ10f(x)dx＋ʃe1f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃe11xdx＝13x310＋lnx|e1＝13＋1＝43.√A.abB.a＋b1C.abD.a＋b＝17.设a＝ʃ10cosxdx，b＝ʃ10sinxdx，则下列关系式成立的是∵(－